浙江集训字符串专题

$\text{CF1483F}$

题目描述

有 $n$ 个互不相同的字符串 $s_1,s_2,...,s_n$ 。

希望求出二元组 $(i,j)$ 的数量，满足 $s_j$ 在 $s_i$ 中出现过并且不存在 $s_k$ 使得 $s_k$ 在 $s_i$ 中出现过，$s_j$ 在 $s_k$ 中出现过。

思路点拨

考虑枚举最长的字符串 $s_i$ ,和 $endpos$ 表示 $s_j$ 的末尾节点。为了符合条件，我们对于同一个 $endpos$ 只取最长的那个字符串。这个好用 $\text{ACAM}$ 维护。

现在有两个问题：算重，算多（算多 $\text{BIT}$ 随便去重就可以）

算重可以用 $map$ 记录去重。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

$\text{CF1207G}$

题目描述

有 $n$ 次操作，每一次操作描述了第 $i$ 个字符串，要么是单独一个字符，要是是在第 $j$ 个字符串后拼接一个字符得到。

接下来又 $m$ 次询问，每一次给出一个字符串问在第 $i$ 个字符串中出现了多少次？

思路

考虑检出 $\text{ACAM}$ 。一个字符串 $s$ 在第 $i$ 个字符串中出现了多少次就相当于问这个字符串的末尾节点在 $fail$ 树的子树内有多少节点属于字符串 $i$ 的。所以将询问离线下来，我们在 $trie$ 树上dfs,同时维护 $fail$ 树上的单点加，区间求和即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

$\text{CF549E}$

题目描述

给出 $n$ 个字符串 $s_1,s_2,...,s_n$ 。有 $q$ 次询问，每一次询问问 $s_k$ 在 $s_l,...,s_r$ 中出现了多少次？

思路

我们不喜欢区间询问，所以把他拆分为了前缀询问，之后考虑离线。

对于一个字符串，我们暴力的将其在 $fail$ 树上的全部节点到根的路径都增加 $1$ 。询问就相当于单点查询。这可以使用树剖维护。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n+q\log n)$ 。

$\text{BOI2004 Repeats}$

题目描述

现在有一个字符串 $s$ ，希望求出一个子串 $t$ 满足 ${\displaystyle \frac{|t|}{KM{P}_t}}$ 尽量大。其中 $KM{P}_t$ 表示字符串 $t$ 的最小整周期。

思路点拨

我们考虑枚举 $KM{P}_t$ 的长度 $k$，接下来枚举一个起点 $i$ 。这时字符串 $s[i,i+k-1]$ 的循环次数就是 $1+{\displaystyle \frac{LCP(su{f}_i,su{f}_{i+k})}{k}}$ ，至于正确性读者画图就知道了。这样我们得到了 $O(n^2)$ 的做法。

我们不需要枚举每一个起点，只需要枚举 $i+xk$ 的这些端点就足够了。每一次使用后缀数组往前后扩展公共前后缀。更加具体而言，我们的扩展左端点是 $(i-1)-LCS(pr{e}_i-1,pr{e}_{i+k-1})+1$ ，扩展右端点是 $i+LCP(su{c}_i,su{c}_{i+k})-1$ 。大家可以自己多多画图理解为什么。

$LCP$ 和 $LCS$ 使用后缀数组优化，时间复杂度 $O(n\log n)$ 预处理加上 $O(\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{n}{i}})$ 求解就是 $O(n\log n)$ 的。

$\text{CF710F}$

题目描述

维护一个字符串集合，支持如下操作：

• 增加一个字符串
• 删除一个字符串
• 给出一个字符串 $s$ ,问集合中字符串在 $s$ 中出现的次数和。

强制在线

思路点拨

如果不考虑空间的话，我们可以使用时间轴 $\text{BIT}$ 套 $\text{ACAM}$ 做到 $O(n\log n)$ 的时间复杂度，但是空间复杂度为 $O(26n\log n)$ ，所以是不可以通过的。

我们考虑优化空间，可以在增加字符串/删除字符串的时候维护 $\text{BIT}$ 划分的变化（二进制分组），做到空间线性。

$\text{KMP}$ 的特殊运用

$\text{bitset}$ 优化字符串匹配

题目描述

现在有一个字符串 $s$ ，需要支持如下操作：

• 字符串 $s$ 单个位置的修改

• 给出一个字符串 $t$ 问在 $s$ 中出现的次数。

思路点拨

我们开 $26$ 个桶，第 $i$ 个桶存放了 $s_j{=}^{\prime }{a}^{\prime }+i-1$ 的下标 $j$ 。

匹配维护可行的端点桶，每一次对相应的桶移位，取位运算与即可。过程使用 $\text{bitset}$ 优化一下没什么好讲的。

时间复杂度 $O({\displaystyle \frac{n^2}{w}})$ ，空间复杂度 $O({\displaystyle \frac{nS}{w}})$ 。其中 $S$ 表示字符集大小。

含有通配符的字符串匹配

题目描述

现在有两个字符串 $s,t$ ，均有小写字母和通配符组成。通配符可以替换为任何字符，问 $t$ 在 $s$ 中出现的次数。

思路点拨

我们给每一个字符赋值，但是通配符的权值为 $0$ 。字符串 $s$ 的第 $i$ 个位置权值 $p(i)$ 定义为：

$$p(i)=\sum _{j=0}^{|t|-1}(s_{i+j}-t_j{)}^2{s}_{i+j}{t}_j$$

当 $p(i)$ 等于 $0$ 的时候就是一次匹配，大家可以根据赋值的方式理解一下。如果 $s_{i+j}=t_j$ ，那么 $(s_{i+j}-t_j{)}^2=0$ ；如果存在通配符，那么 $s_{i+j}$ 和 $t_j$ 中存在 $0$ 。

考虑推一下式子：

$$p(i)=\sum _{j=0}^{|t|-1}(s_{i+j}^2+t_j^2-2s_{i+j}{t}_j)s_{i+j}{t}_j$$

$$=\sum _{j=0}^{|t|-1}{s}_{i+j}^3+t_j^3-2s_{i+j}^2{t}_j^2$$

这时三个不同的卷积，变换一下下标之后 $NTT$ 即可。时间 $O(n\log n)$ 。