Luogu8330 解题报告

有一个显然的贪心，选了一个区间 $[l,r]$ ,贡献为这个区间的众数加上区间外的众数。

考虑根号分治，阈值为 $B$ 。我们称出现次数 $>B$ 的数称为大数，反之成为小数。答案有需要分 $4$ 类讨论： $[l,r]$ 内是大数/小数，区间外是大数/小数

比较简单的是 $[l,r]$ 内是大数/小数，区间外是大数。

我们发现大数的种类只有 $\frac{n}{B}$ 个，所以我们预处理出 $su{m}_{i,j}$ 表示前缀 $i$ 数字 $j$ 出现了多少次？这个部分容易做到 $O(n\sqrt{n})$ 。

接下来我们枚举一种颜色，然后对于这个元素从左到右数的第 $i$ 个出现位置假设我们的区间 $[l,r]$ 以其为右端点，那么对于一个左端点 $j$ (这个元素第 $j$ 个出现的位置)产生的贡献就是 $(i-j+1)+(su{m}_{n,w}-su{m}_{i,w})+su{m}_{j-1,w}$

推推柿子：

$$\underset{j<i}{max}(i-j+1)+(su{m}_{n,w}-su{m}_{i,w})+su{m}_{j-1,w}$$

$$(i-su{m}_{i,w}+su{m}_{n,w}+1)-(\underset{j<i}{min}su{m}_{j-1,w}-j)$$

后面的 $min$ 可以预处理啊，所以这部分可以做 $O(\frac{n^2}{B})$ 。

十分困难的是 $[l,r]$ 内是小数，区间外是小数。

因为区间内是小数，所以这样的区间只有 $O(nB)$ 个，考虑 $O(1)$ 求区间外的小数，优势在于小数的数量 $⩽B$ 。

记录 $f_{i,j}$ 表示左端点 $i$ 要是需要出现 $j$ 个元素，最靠右的右端点是多少？这个东西比较容易预处理，时间 $O(nB)$ 。那么我们对于枚举的一个区间 $[l,r]$ ，我们找到 $f_{l-1,i}>r$ 并且 $i$ 尽量大。因为 $f$ 数组有单调性，所以二分这个 $i$ 。可以做到 $O(nB\log B)$ 。

看起来比较简单，但是没有那么好想。我想了半小时（可能是我菜）。

中规中矩的是 $[l,r]$ 内是大数，区间外是小数。

下文中的 $f$ 数组与上述定义一致。

我们对于一个左端点，枚举 $f_{l-1,i}(i⩽B)$ ，所以需要找到 $[l,f_{l,i}-1]$ 有多少个 $a_l$ ，我们记录了一个桶还记得吗，所以可以直接 $O(1)$ 算。

时间复杂度 $O(nB)$ 。

综上所述，我们可以想一下 $B$ 怎么取，当 $nB\log B=\frac{n^2}{B}$ 的时候达到了最优，得出 $B^2\log B=n$ 。当 $n=2\times {10}^5$ 时，$B$ 可以取 $400$ ,此时理论运算量来到了 ${10}^8$ ，可以卡常通过。