杂题选讲20231025

$\text{CF1809F}$

题目描述

• 你在一个有 $n$ 个点的环上顺时针前进，环上第 $i$ 个点有两个权值 $a_i,b_i$，分别代表从点 $i$ 到点 $i+1modn$ 的消耗的油和点 $i$ 处的油价。你的车的油箱最多只能装 $k$ 升油，对于每个点，求出从这个点开始顺时针转一圈返回这个点的最小消耗。
• $3\le n\le 2\times {10}^5,1\le k\le {10}^9,1\le a_i\le k,1\le b_i\le 2$

思路点拨

因为题目中有一个特别有意思的性质就是 $1⩽b_i⩽2$ ,我们可以得出一个贪心策略：我们在能买价格为 $1$ 的油的时候就尽量买，不得不买价格为 $2$ 的油才去买。这个策略显然是最优的。

根据上述策略，我们考虑两个节点 $u,v$ 之间的距离该如何计算（假设 $u,v$ 之间没有价格为 $1$ 的油的售卖点），那么我们分类讨论：

• $b_u=1$ ，我们计算出两点之间的距离 $siz$ ，如果 $k⩽siz$ ，那么我们尽量买 $1$ ，别的买 $2$ 所以花费是 $2siz-k$ ；如果 $siz<k$ ，我们可以全部买价格为 $1$ 的油，所以花费就是 $siz$ 。

• $b_u=2$ , 我们只可以购买价格为 $2$ 的油，花费 $2siz$ 。

根据以上贪心策略我们发现如果我们以油价为 $1$ 的地点分段计算是可以快速求出答案的，问题在于这样单次 $O(n)$ 并且我们对于每一个起点都需要求一次答案。

注意到这个贡献的计算方式是很好合并的，固可以使用倍增算法优化：我们定义状态 $f_{i,j}$ 表示从节点 $i$ 往后跳 $2^j$ 步的位置，$g_{i,j}$ 表示从节点 $i$ 往后跳 $2^j$ 步的花费。最后简单统计一下答案即可。特别的，我们所只的一步不是从 $i$ 到 $(i+1)modn$ ，而是指代两两油价为 $1$ 的点算一步，或者从一个油价为 $2$ 的点到达之后第一个油价为 $1$ 的点算一步。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。