DP提高专项1题解

主要讲一下每一题的做法以及思考方式。

感觉难度薇 $T1-T3-T2$ 。但是都不算难。

$T1$

题目描述

Jimmy 最近迷上了一款叫做方块消除的游戏。游戏规则如下：$n$ 个带颜色方格排成一列，相同颜色的方块连成一个区域（如果两个相邻方块颜色相同，则这两个方块属于同一区域）。为简化题目，将连起来的同一颜色方块的数目用一个数表示。

例如，9 122233331 表示为

4
1 2 3 1
1 3 4 1

游戏时，你可以任选一个区域消去。设这个区域包含的方块数为 $x$，则将得到 $x^2$ 个分值。方块消去之后，其余的方块就会竖直落到底部或其他方块上。而且当有一列方块被完全消去时，其右边的所有方块就会向左移一格。Jimmy 希望你能找出得最高分的最佳方案，你能帮助他吗？

第一行包含一个整数 $m$（$1\le m\le 50$），表示同颜色方块区域的数目。
第二行包含 $m$ 个数，表示每个区域的颜色（$1$ 到 $m$ 之间的整数）。
第三行包含 $m$ 个数，表示每个区域包含的方块数（$1$ 到 $20$ 之间的整数）。

思路点拨

挺简单的一题。考虑到本题从序列中间开始操作会得到不同的结果，所以不可以使用类似于子序列提取的线性dp,而是考虑区间dp。

我们比较头疼的是，在消除完之后右边的方块会挪过来，所以我们可以在状态中体现这一点。我们定义 $f_{l,r,k}$ 表示是目前考虑了区间 $l,r$ 的方格，右端点右边接了 $k$ 个与之颜色相同过的方块的最大价值。

转移分两类讨论：

• 把右边炸了！

$$f_{l,r,k}=f_{l,r-1,0}+(num[r]+k{)}^2$$

• 考虑炸掉中间一段，然后右边的 $(num[r]+k)$ 移到左边去（要求左边与右边颜色相同）

$$f_{l,r,k}=f_{l,mid,num[r]+k}+f_{mid+1,r-1,0}$$

别的不需要多多考虑，因为我们最为简单的方式就是从左到右依次炸掉，我们不论怎么操作，答案不会劣于这个。所以我们只需要考虑让颜色相同的尽量在一起炸掉。

时间复杂度 $O(n^4)$ 。

代码很短，不放了。

$T3$

题目描述

现在有 $n$ 个元素，构成一颗二叉排序树。还知道这颗二叉排序树父子之间权值不互质，问是否存在这样的树？

$n⩽700$ 。

思路点拨

二叉排序树的性质：中序遍历是有序的。我们考虑对原序列排序之后区间 $dp$ ，按照中序遍历 $dp$。

因为需要父子之间权值互质，所以我们在状态里记录一下根。设 $f_{l,r,k}$ 表示考虑到区间 $l,r$ ，根位 $k$ 是否可以满足条件。那么

$$f_{i,j,k}=(\sum _{i⩽r<k}{f}_{i,k-1,r}[gcd(a_k,a_r)>1])(\sum _{k<r⩽j}{f}_{k+1,j,r}[gcd(a_k,a_r)>1])$$

时间复杂度 $O(n^4)$ ，不可以通过。

考虑优化，我们发现我们做了一个十分智障的操作。我们在状态里面记录根的目的就是为了保证根与根的父亲不互质，但是没有必要将根表示出来。因为对于区间 $[l,r]$ 而言，它的根的父亲无非就是 $l-1,r+1$ 两种。所以我们可以更改一下状态：

$f_{l,r}$ 表示考虑到区间 $[l,r]$ ，根的父亲是 $l-1$ 的方案。

$g_{l,r}$ 表示考虑到区间 $[l,r]$ ，根的父亲是 $r+1$ 的方案。

转移方式几乎不变，枚举一个根（$vis$ 数组表示是否互质）：

	for(int len=2;len<=n;len++)
		for(int l=1,r=len;r<=n;l++,r++)
			for(int mid=l;mid<=r;mid++){
				if(vis[mid][r+1]) f[l][r]|=(f[l][mid-1]&g[mid+1][r]);
				if(vis[mid][l-1]) g[l][r]|=(f[l][mid-1]&g[mid+1][r]);
			}

时间复杂度 $O(n^3)$ 。

$T2$

题目描述

Dreamoon 有一个字符串 $s$ 和一个模式串 $p$，他会先从 $s$ 中删除恰好 $x$ 个字符来产生一个新的字符串 $s^{\prime }$。然后他会计算 $occ(s^{\prime },p)$，即从 $s^{\prime }$ 中能找到的等于 $p$ 的不相交的子串数量的最大值。他想让 $occ(s^{\prime },p)$ 的值尽可能大。

更形式地说，让我们用 $ans(x)$ 表示所有可以从 $s$ 中删去恰好 $x$ 个字符得到的 $s^{\prime }$ 中 $occ(s^{\prime },p)$ 的最大值。Dreamoon 想要知道对于所有的 $x$ $(0\le x\le |s|)$，$ans(x)$ 的值。

$|s|⩽2000,|p|⩽500$ 。

思路点拨

本场比赛最有思维含量的一题，比较靠设状态。

看到题目，这题挺 $\text{KMP}$ 的。我们定义状态 $f_{i,j,k}$ 表示目前考虑到下标 $i$ ,删除了 $j$ 个字符，目前 $\text{KMP}$ 的失配指针在 $p$ 字符串的下标 $k$ 时，以及匹配的 $p$ 的数量的最大值。

转移可以刷表。对于 $f_{i,j,k}$ 而言，我们考虑 $i+1$ 的状态：

• 删了

• 不删，此时维护 $\text{KMP}$ 的失配指针。

特别好想，时间 $O(|s{|}^2|p|)$ ，不可以通过。

发现，上面这个 $dp$ 因为依赖了 $\text{KMP}$ 这个类似于自动机的东西，所以我们的第三维无法优化掉，所以我们换思考方向，将 $p$ 作为一个整体去思考。

那么我们又可以得出如下状态：

$f_{l,r}$ 表示区间 $l,r$ 是否可以提取出子序列 $p$ ？如果可以，那么 $f_{l,r}=r-l+1-|p|$ ，如果不可以 $f_{l,r}=inf$ 。这是很好预处理，不讲。

$d{p}_{i,j}$ 表示考虑到下标 $i$ ，删除了 $j$ 个字符的情况下，匹配 $p$ 的最大值。转移比较明了：

$$d{p}_{i,j}=max\{d{p}_{mid,j-f_{mid+1,i}}+1\}$$

时间复杂度 $O(|s{|}^3)$ 。虽然比较劣，但是我们发现状态有优化的空间。

我们假设，$g_i$ 表示从下标 $i$ 往左边找，能够平凑处 $|p|$ 这个子序列的最大下标。从 $g_i$ 开始，我们的 $f$ 数组 $+1$ 。$g_i$ 之前的东东我们可删可不删，而只有在 $[g_i,i]$ 之间的元素我们必须删除，我们可以简单改一下状态。

$d{p}_{i,j}$ 表示考虑到下标 $i$ ，至少 删除了 $j$ 个字符的情况下，匹配 $p$ 的最大值。转移比较明了：

$$d{p}_{i,j}=max\{d{p}_{g_i-1,j-f_{g_i,i}}+1,d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-1,j-1}\}$$

大概就是这样，优势在于决策点减少了。具体细节不讲。

时间复杂度 $O(|s|(|s|+|p|))$