动态规划杂题选练

\(\text{CF908G}\)

题目描述

给\(n<=10^{700}\)，问1到n中每个数在各数位排序后得到的数的和。答案膜 \(1e9+7\) 。

思路点拨

不是很难，自己想一会可以想出来。

因为 \(n\) 比较大，所以我们考虑数位dp。因为每一种数组产生的贡献十分复杂，所以我们将每一数字拆开统计贡献。

如果我们认为 \(n\) 表示数字的位数，相信 \(O(10^2n^3)\) 是比较好的出的。我们枚举一个数字 \(d\) ，则状态 \(f_{i,j,k,l}\) 表示目前考虑到第 \(i\) 位，比 \(d\) 小的有 \(j\) 位，比 \(d\) 大的有 \(k\) 位，目前有没有超出限制的 \(l=0/1\) 。转移比较简单，直接枚举下一位填什么，变动一下状态即可。但是不可以通过本题。

我们更改一下状态，我们定义 \(f_{i,j,k}\) 表示目前考虑到第 \(i\) 位，大于等于枚举的数 \(d\) 有 \(j\) 个，是否超出 \(limit\) 的 \(k=0/1\) 。转移比较类似。这样怎么计算贡献呢？因为 \(6\) 的数位可以拆成 \(5\) 的贡献加上 \(1\) 的贡献。所以我们这么统计是可行的。