盒子与小球-复习

本文的盒子有 $n$ 个，小球有 $m$ 个

盒子不同，小球不同，盒子内小球数量无限制

对于第 $i$ 个球，有 $n$ 个可选盒子。所以答案就是 $n^m$ 。

盒子不同，小球不同，盒子至多装一个小球

对于第 $i$ 个球，可以选择 $n-i+1$ 个盒子，因为别的盒子被之前的小球选过了。

答案就是 $\prod {i=1}^m(n-i+1)$

盒子不同，小球不同，盒子至少装一个小球

至少问题，考虑二项式反演。

对于两个函数 $f,g$ ，如果 $f(n)=\sum _{i=1}^n{C}_n^i{g}_i$

可以推出 $g(n)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(-1{)}^{n-i}{f}_i$

对于本题而言，我们定义 $f(n,m)$ 表示 $n$ 个盒子，$m$ 个小球，盒子非空的情况方案数； $g(n,m)$ 表示 $n$ 个盒子， $m$ 个小球，盒子随意的方案数。对于 $g(n,m)$ 我们是好求的， $n^m$ 而已；但是

$$g(n,m)=\sum _{i=0}^n{C}_n^{i}f(i,m)$$

可以得到

$$f(n,m)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(-1{)}^{n-i}g(i,m)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(-1{)}^{n-i}{i}^m$$

盒子相同，小球不同，盒子数量无限制

考虑第二类斯特林数 $S(n,m)$ 表示 $n$ 个不同的元素，放入 $m$ 个相同的集合的方案数。

两种求法：

$S(n,m)={\displaystyle \frac{f(m,n)}{m!}}$

$f(m,n)$ 是我们上文定义的函数，该做法后续可以使用 $\text{NTT}$ 优化，在较短的时间内求出一行的数。

$S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n,m-1)\times m$

$S(n-1,m-1)$ 表示这个小球放进了独立的一个集合，$S(n,m-1)$ 表示这个小球插入了 $n$ 个集合中的一个。

盒子相同，小球不同，每一个盒子至多装一球

判断 $m,n$ 大小关系就可以了。

盒子相同，小球不同，每一个盒子至少装一球

斯特林数定义，不多讲了。

盒子不同，小球相同，每一个盒子无限制

本质上就是求方程 $x_1+x_2+...+x_n=m$ 的非负整数解。

这个就是经典的插板，$C_{n+m-1}^{n-1}$ 。

盒子不同，小球相同，盒子至多放一球

$C_n^m$

盒子不同，小球相同，盒子至少放一球

$C_{n-1}^{m-1}$