扩展欧几里得算法-复习

求解二元一次方程

问题

希望求出 \(ax+by=c\) 形式的二元一次不定方程的一组整数解。

思路点拨

首先，这样的方程不一定有正整数解。比如 \(6x+12y=5\) 。

判定

定义：设 \(a,b\) 是不为 \(0\) 的整数，那么一定存在整数 \(x,y\) ，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 。

证明：

1.若任何一个等于 \(0\) ，则 \((a,b)=a\) ，这是定理显然成立。

2. 若 \(a,b\) 不等于 \(0\) ，设 \(a,b >0 ,b \leqslant a,(a,b)=d\) 。

对于 \(ax+by=d\) ，两端同除以 \(d\) ，可得 \(a_1x+b_1y=d\) 。并且 \((a_1,b_1)=1\) 。我们只考虑对于 \((a,b)=1\) 的二元组 \((a,b)\) ，满足裴蜀定理。

我们考虑辗转相除法（本质上是优化的更相减损术的优化，上已证明），就是 \((a,b)=(b,a \bmod b)\) 一直不断推出来的。我们设余数为 \(r\) ,有

\[(a,b)=(b,r_1)=(r_1,r_2)=...=(r_{n-1},r_n) \]

我们算法展开成带余数除法的形式：

\[a=q_1b+r_1 \]

\[b=q_2r_1+r_2 \]

\[r_1=q_3r_2+r_3 \]

\[... \]

\[r_{n-3}=q_{n-1}r_{m-2}+r_{n-1} \]

\[r_{n-2}=q_{n}r_{n-1}+r_n \]

\[r_{n-1}=q_{n+1}r_n \]

我们令辗转相除法运行知道互质的时候推出 \(r_n=1\) ,所以有:

\[r_{n-2}=q_nr_{n-1}+1 \]

移项，得：

\[1=r_{n-2}-q_nr_{n-1} \]

那么我们将 \(r_{n-1}=r_{n-3}-q_{n-1}r_{n-2}\) 带入上式，得：

\[1=(1+q_nq_{m-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3} \]

我们可以不断消除 \(r_{n-2}\) 到 \(r_1\) 。最终得出 \(1=ax+by\) 。得证。

所以 \(ax+by=c\) 需要满足 \(\gcd(a,b)|c\) 。

求解

我们考虑求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\) ，最后只需要将 \(x,y\) 同乘上 \(\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\) 即可。

对于 \(ax+by=\gcd(a,b)\) ，考虑另一个方程 \(bx_0+(a\bmod b)y_0= \gcd(a,b)\) 。这个方程等价于

\[bx_0+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y_0=\gcd(a,b) \]

\[ay_0+b(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0)= \gcd(a,b) \]

在 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 中，我们令 \(x=y_0,y=x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0\) ,我们就发现这等价于第二个方程。所以如果我们求出 \(bx_0+(a\bmod b)y_0= \gcd(a,b)\), 就可以推出 \(ax+ by=\gcd(a,b)\) 的一组解。

我们考虑在欧几里得算法的过程中，一直如此递归最终可以得出方程 \(ax=a\) ，得到 \(x=1,y=0\) 。一直往上顺推回去，得到原方程的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return ans;
}