扩展欧几里得算法-复习

求解二元一次方程

问题

希望求出 $ax+by=c$ 形式的二元一次不定方程的一组整数解。

思路点拨

首先，这样的方程不一定有正整数解。比如 $6x+12y=5$ 。

判定

定义：设 $a,b$ 是不为 $0$ 的整数，那么一定存在整数 $x,y$ ，满足 $ax+by=gcd(a,b)$ 。

证明：

1.若任何一个等于 $0$ ，则 $(a,b)=a$ ，这是定理显然成立。

2. 若 $a,b$ 不等于 $0$ ，设 $a,b>0,b⩽a,(a,b)=d$ 。

对于 $ax+by=d$ ，两端同除以 $d$ ，可得 $a_{1}x+b_{1}y=d$ 。并且 $(a_1,b_1)=1$ 。我们只考虑对于 $(a,b)=1$ 的二元组 $(a,b)$ ，满足裴蜀定理。

我们考虑辗转相除法（本质上是优化的更相减损术的优化，上已证明），就是 $(a,b)=(b,amodb)$ 一直不断推出来的。我们设余数为 $r$ ,有

$$(a,b)=(b,r_1)=(r_1,r_2)=...=(r_{n-1},r_n)$$

我们算法展开成带余数除法的形式：

$$a=q_{1}b+r_1$$

$$b=q_2{r}_1+r_2$$

$$r_1=q_3{r}_2+r_3$$

$$...$$

$$r_{n-3}=q_{n-1}{r}_{m-2}+r_{n-1}$$

$$r_{n-2}=q_n{r}_{n-1}+r_n$$

$$r_{n-1}=q_{n+1}{r}_n$$

我们令辗转相除法运行知道互质的时候推出 $r_n=1$ ,所以有:

$$r_{n-2}=q_n{r}_{n-1}+1$$

移项，得：

$$1=r_{n-2}-q_n{r}_{n-1}$$

那么我们将 $r_{n-1}=r_{n-3}-q_{n-1}{r}_{n-2}$ 带入上式，得：

$$1=(1+q_n{q}_{m-1})r_{n-2}-x_n{r}_{n-3}$$

我们可以不断消除 $r_{n-2}$ 到 $r_1$ 。最终得出 $1=ax+by$ 。得证。

所以 $ax+by=c$ 需要满足 $gcd(a,b)|c$ 。

求解

我们考虑求解 $ax+by=gcd(a,b)$ ，最后只需要将 $x,y$ 同乘上 ${\displaystyle \frac{c}{gcd(a,b)}}$ 即可。

对于 $ax+by=gcd(a,b)$ ，考虑另一个方程 $b{x}_0+(amodb)y_0=gcd(a,b)$ 。这个方程等价于

$$b{x}_0+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y_0=gcd(a,b)$$

$$a{y}_0+b(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0)=gcd(a,b)$$

在 $ax+by=gcd(a,b)$ 中，我们令 $x=y_0,y=x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0$ ,我们就发现这等价于第二个方程。所以如果我们求出 $b{x}_0+(amodb)y_0=gcd(a,b)$, 就可以推出 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组解。

我们考虑在欧几里得算法的过程中，一直如此递归最终可以得出方程 $ax=a$ ，得到 $x=1,y=0$ 。一直往上顺推回去，得到原方程的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return ans;
}