字符串杂题20230916

今天的题目没有那么难，挑一些不蛮板的题目来讲。建议不要光看，打个草稿画一下图，这个是解字符串题的关键。

[POI2005] SZA-Template

题目描述

你打算在纸上印一串字母。

为了完成这项工作，你决定刻一个印章。印章每使用一次，就会将印章上的所有字母印到纸上。

同一个位置的相同字符可以印多次。例如：用 aba 这个印章可以完成印制 ababa 的工作（中间的 a 被印了两次）。但是，因为印上去的东西不能被抹掉，在同一位置上印不同字符是不允许的。例如：用 aba 这个印章不可以完成印制 abcba 的工作。

因为刻印章是一个不太容易的工作，你希望印章的字符串长度尽可能小。

思路点拨

本题具体有两种做法，失配树和动态规划。这里讲述更好理解的失配树做法，想要了解动态规划做法可以自己口胡...

我们考虑建出失配树，然后寻找一些性质。对于一个印章，我们肯定需要在 $1$ 开头的位置印刷一次，在 $n$ 结尾的地方印刷一次，那么这个印章是 $1,2,...,n-1,n$ 的一个 $\text{border}$ 。答案返回到失配树上，就是根节点到 $n$ 的这一条路径上。我们的答案是在这条路径上合法，并且深度最小的点。

我们接着想，一个答案什么时候合法？对于一个失配树上的节点 $u$ ，我们对其子树内的节点排序。如果存在排序后两个相邻的元素 $i,j$ 有 $\text{abs(i-j)}>u$ ，那么这个 $u$ 肯定不合法。具体大家可以结合失配树的意义自行理解一下。类似于出现了一个长度大于 $u$ 的区间无法被 $1$ 到 $u$ 这个 $\text{border}$ 印刷出来。我们现在需要解决的就是如何找到这个最大的邻值。

如果我们从 $n$ 一路走到根节点，这个最大的邻值是单调不递增的，我们不好维护。但是如果我们是从根节点走到 $n$ ，那么添加节点机会变成添加节点，这个最大邻值也就是单调不递减的。我们可以使用一个双向链表每次 $O(1)$ 维护。总体时间复杂度 $O(n)$ 。

$\text{hdu3336}$

题目描述

给出一个字符串 $s$ ，求 $s$ 的每一个前缀在字符串中出现次数之和。

$n⩽{10}^6$ 。

思路点拨

考虑建立失配树。对于一个前缀而言，它出现的次数就是它所对应节点的子树大小，简单统计一下就可以了。

时间复杂度 $O(n)$ 。

$\text{Luogu3435}$

题目描述

对于一个仅含小写字母的字符串 $a$，$p$ 为 $a$ 的前缀且 $p\ne a$，那么我们称 $p$ 为 $a$ 的 proper 前缀。

规定字符串 $Q$ 表示 $a$ 的周期，当且仅当 $Q$ 是 $a$ 的 proper 前缀且 $a$ 是 $Q+Q$ 的前缀。若这样的字符串不存在，则 $a$ 的周期为空串。

例如 ab 是 abab 的一个周期，因为 ab 是 abab 的 proper 前缀，且 abab 是 ab+ab 的前缀。

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和。

$n⩽{10}^6$ 。

思路点拨

考虑一个前缀的最大周期到底是什么，就是这个前缀的长度减去这个前缀的最小 $\text{border}$ ，还算是好推。但凡是你拿起笔打了草稿就会知道。

求出最小的 $\text{border}$ 可以使用动态规划，对于 $i$ 前缀而言（$\text{fail}$ 为失配数组）：

• 不存在 $fai{l}_i$，$d{p}_i=i$ 。

• 存在 $fai{l}_i$ 但是不存在 $fai{l}_{fai{l}_i}$ ，$d{p}_i=fai{l}_i$ 。

• 存在 $fai{l}_i$ 并且存在 $fai{l}_{fai{l}_i}$ ，$d{p}_i=d{p}_{fai{l}_i}$ 。

答案就是 $\sum i-d{p}_i$ ，时间复杂度 $O(n)$ 。

$\text{Luogu7456}$

题目描述

现在给出了一个字符串 $c$ 以及 $n$ 个字符串 $s$ 。

你需要挑选出 $n$ 个字符串中的一些（可以多次选同一个字符串）拼出字符串 $c$ 。拼的时候两个字符串可以重叠，但是重叠的部分必须相同。

你需要选出的字符串数量尽可能少。

$n,|c|,\sum |s|⩽3\times {10}^5$ 。

思路点拨

如果我已经拼好了 $c$ 的前 $i$ 个字符，那么我下一个字符会选那个？其实答案只有一个，就是可以让这个已经拼凑出来的字符串尽可能变长的那一个。

那么对于一个 $c$ 的前缀 $c_1,..,c_i$ ，它又可以从哪里来？我们找到以 $i$ 为结尾的最长的 $n$ 个字符串中的字符串，假设其长度为 $len$ 。那么对于前缀 $j\in [i-len,i-1]$ ，都可以通过添加这个字符串扩展到 $i$ 。

我们定义状态 $d{p}_i$ 表示目前填完 $c_1,...,c_i$ 的最少字符串数量。转移比较简单，假设以 $i$ 结尾的最长字符串长度为 $le{n}_i$ （这个可以使用 $\text{ACAM}$ 求 $fail$ 树的链上最大值求出），那么

$$d{p}_i=min\{d{p}_j+1(j\in [i-len,i-1])\}$$

这个可以使用线段树优化。时间复杂度 $O((|c|+\sum |s|)\log |c|)$ 。‘

$\text{Luogu3546}$

题目描述

对于两个串 $S_1,S_2$，如果能够将 $S_1$ 的一个后缀移动到开头后变成 $S_2$，就称 $S_1$ 和 $S_2$ 循环相同。例如串 ababba 和串 abbaab 是循环相同的。

给出一个长度为 $n$ 的串 $S$，求满足下面条件的最大的 $L(L\le \frac{n}{2})$：$S$ 的 $L$ 前缀和 $S$ 的 $L$ 后缀是循环相同的。

• 对于 $100\mathrm{\%}$ 数据，保证 $1\le n\le {10}^6$。

思路点拨

我们看到第一句话：对于两个串 $S_1,S_2$，如果能够将 $S_1$ 的一个后缀移动到开头后变成 $S_2$，就称 $S_1$ 和 $S_2$ 循环相同。我们想一下 $s1,s2$ 会是什么形式？$s1=AB,s2=BA$ ， $A,B$ 均是一个字符串。这个很好理解，$B$ 就是我要从 $s1$ 的后边循环到前边的字符串。

又因为我们需要寻找的 $s1,s2$ 都是前后缀，所以 $A$ 部分就应当是原字符串的一个 $\text{border}$ 。$B$ 部分就是原字符串去除 $A$ 这个前后缀之后的最长 $\text{border}$ 。我们考虑枚举 $A$ ,快速计算 $B$ ，因为 $B$ 是一个最大值。

简单画一下图就会发现一个小结论。我们假设去除前后缀 $i$ 的字符串的最长 $\text{border}$ 为 $d{p}_i$ ，那么 $d{p}_i⩽d{p}_{i+1}+2$ 。不然 $d{p}_{i+1}$ 的长度完全可以更长，算了，挂张图吧（手动latex，草稿本上随便改了一下，将就看吧）：

所以我们可以在 $O(n)$ 的时间算出 $dp$ 数组（用哈希判断相同）。枚举 $A$ 不是时间瓶颈。

总时间复杂度 $O(n)$ 。