test0822考试总结

写在前面的话

$\text{Rank2}$ ，$100+100+30+0$ ，可惜还是太菜了。

发现自己的博弈论还是不会，并且做过的题目有点少。

最长不互质子序列

题目描述

现在有一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，我们希望找到一个最长的子序列满足相邻两个数不互质。求这个最长的子序列长度。

$n,a_i⩽{10}^6$ 。

思路点拨

我们考虑到一个数的质因子的数量是常数级别的，所以我们定义状态 $f_i$ 表示子序列最后一个元素有 $i$ 这个因子($i\in prime$) 的最长上升子序列。那么以下标 $i$ 为结尾的子序列长度就是：

$$\underset{j|a_i,j\in prime}{max}{f}_j+1$$

接下来，我们用得到的这个 $dp$ 值去更新即可。

时间复杂度是 $O(n\log \log n)$ 的，因为我们需要用埃式筛找到每一个数的质因数有哪些。

数学课

题目描述

你有 $n$ 个数 $a_i$ ，你可以在相邻两个数之间添加一个运算符 $+,-,\times$ ，问最后全部可能的表达式的值得和是多少。为了增加难度，有 $q$ 次修改操作，每一次操作就是将原序列的一个 $a_{pos}$ 修改为 $k$ 。

$n,q⩽{10}^5$ 。

思路点拨

因为乘法有优先级运算，所以我们考虑将一堆数的乘法看做一个元素。那么如果一个元素前面可以填运算符（显然，是可以是 $+,-$ 之一） ，那么就可以将这个运算符取反来抵消它产生的贡献。这就可以得出，一个数可以产生的贡献的前提就是它是序列的一段前缀积。答案可以表示为：

$$(\prod _{i=1}^n{a}_i)+\sum _{i=1}^{n-1}(\prod _{j=1}^i{a}_j)\times 2\times 3^{n-i-1}$$

这里解释一下为什么会乘上 $2$ ,因为一个元素之后不可以填 $\times$ 发，不然有违背我们的定义。剩下的 $n-i-1$ 个空位随便填咯。我们将前缀积 $pro{d}_{i=1}^{pos}{a}_i$ 的贡献看做 $b_{pos}$ 这样答案就是 $\sum _{i=1}^n{b}_i$ 。接下来我们考虑修改。

我们的答案只与前缀积有关，每一次修改的元素只会影响到一个 $b$ 数组的后缀。我们进行区间除法，区间乘法即可，使用线段树优化。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

通缉

题目描述

有一颗树，树上的路径有长度。两个点之间的距离就是他们在树上的最短距离。

有 $q$ 次询问，每一次询问给出四个参数 $l1,r1,l2,r2$ ，保证 $l1⩽r2<l2⩽r2$ 。问在 $[l1,r1]$ 之间选择一个节点 , $[l2,r2]$ 之间选择一个节点，他们的距离最大是多少？

$n,q⩽{10}^5$ 。

思路点拨

膜拜场切这题的巨佬ollo和_saltFish_。

我们对于点集合 $A,B$ ，如果要选出两个点使得直径最大，那么从 $A$ 中选出的点一定是虚树的直径的端点之一。并不难证明，画画图就理解了。

那么我们的答案就是将 $[l1,r1]$ , $[l2,r2]$ 的直径合并咯。怎么求出一个区间的点的直径呢？
考虑线段树，在查询的时候就可以合并直径（会用到树剖之类的算法），单次 $O({\log }^{2}n)$ 求出直径。

时间复杂度 $O(q{\log }^{2}n)$ 。