[HNOI2012]集合选数

[HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出 $\{1,2,3,4,5\}$ 的所有满足以下条件的子集：若 $x$ 在该子集中，则 $2x$ 和 $3x$ 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 $n\le {10}^5$，如何求出 $\{1,2,\dots ,n\}$ 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 ${10}^9+1$ 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 20$。
对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le {10}^5$。

思路点拨

我看到其余的题解都是从构造的角度讲的，但实际上，这个角度并不好出解。我们可以从图论的角度更加容易地思考这个问题。

我们这么思考，对于一个元素 $i$ ，我们看作一个编号为 $i$ 的点。那么我们如果将 $i$ 将 $2i$ 和 $3i$ 连边，那么这个问题就可以被转化为我们给定一个有向图，你可以从中选择一些点，是的这些点两两之间没有直接连边。这个问题没有那么好解决，但是这个图有优美的性质。

首先，这个图是一个个独立的联通块，这些连通块我们可以分开计数。每一个连通块都是以某一个不含 $2$ 或者 $3$ 因子的点导出的DAG。你可能会疑惑，这样不会有一个点被多个连通块连到吗？但是你考虑一下每一个数的因子组成就会知道答案了。

但是只有这样，不足以出解。另一个性质就是，这些图是一个个残缺不全的网格图。因为，对于一个 $x$ ，它会到达 $2x$ ，和 $3x$ ，而 $2x$ 和 $3x$ 都可以到达 $6x$ 。可以看出，这些点可以组成网格图，排列下来可以看作半个矩阵。这个问题很好求解，我们要求相邻不可以连边，所以状压一下就可以过了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-f;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
const int MAXN=12,mod=1e9+1;
int n,f[20][1<<MAXN];
int a[20];
int qpow(int a,int b){
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base;
		base=base*base;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int p[1<<MAXN],tot;
bool check(int x){
	if(x&(x<<1)) return 0;
	if(x&(x>>1)) return 0;
	return 1;
}
signed main(){
	n=read();
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i%2==0||i%3==0) continue;
		memset(a,0,sizeof(a));
		int x,y;
		for(x=1;i*qpow(3,x-1)<=n;x++);
		for(y=1;i*qpow(2,y-1)<=n;y++);
		x--,y--;
		for(int j=1;j<=y;j++)
			for(int k=1;k<=x;k++)
				if(i*qpow(3,k-1)*qpow(2,j-1)>n)
					a[j]+=(1<<(k-1));
		int cnt=0;
		memset(f,0,sizeof(f));
		tot=0;
		for(int i=0;i<(1<<x);i++)
			if(check(i)) p[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot;j++) 
			if(!(a[1]&p[j]))f[1][j]=1;
		for(int j=2;j<=y;j++){
			for(int k=1;k<=tot;k++)
				if(!(a[j]&p[k]))
					for(int l=1;l<=tot;l++)
						if(!(p[k]&p[l]))
							f[j][k]=(f[j][k]+f[j-1][l])%mod;
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++)
			cnt+=f[y][j];
		ans=ans*cnt%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}