[AGC038C] LCMs

题目描述

• 给定一个长度为 $N$ 的数列 $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_N$。
• 请你求出 $\sum _{i=1}^N\sum _{j=i+1}^N\mathrm{lcm}(A_i,A_j)$ 的值模 $998244353$ 的结果。
• $1\le N\le 2\times {10}^5$，$1\le A_i\le {10}^6$。
• $1\le N\le 200000$
• $1\le A_i\le 1000000$

思路点拨

这种题目还是很好想到莫比乌斯反演的。我们对于序列中的每一个数记录出现的次数 $cn{t}_i$ ，这就是指 $i$ 在 $A$ 的出现次数。我们先对原来的式子进行转化。

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n\text{lcm}(A_i,A_j)$$

$${\displaystyle \frac{1}{2}}(\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\text{lcm}(i,j)\times cn{t}_{i}cn{t}_j-\sum _{i=1}^n{A}_i)$$

我们暂且讨论 $\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\text{lcm}(i,j)\times cn{t}_{i}cn{t}_j$ 的部分：

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\displaystyle \frac{ij}{gcd(i,j)}}cn{t}_{i}cn{t}_j$$

$$\sum _{d=1}^N\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\displaystyle \frac{ij}{d}}cn{t}_{i}cn{t}_j[gcd(i,j)=d]$$

$$\sum _{d=1}^{N}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }ij\times cn{t}_{id}cn{t}_{jd}[gcd(i,j)=1]$$

$$\sum _{d=1}^{N}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\mu (k)(\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{N}{kd}\rfloor }k\times cn{t}_{kd}{)}^2$$

我们令 $T=kd$ 那么

$$\sum _{T=1}^N\sum _{d|T}d\mu ({\displaystyle \frac{T}{d}})(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{T}\rfloor }{\displaystyle \frac{T}{d}}cn{t}_T{)}^2$$

$$\sum _{T=1}^N\sum _{d|T}{\displaystyle \frac{1}{d}}\mu ({\displaystyle \frac{T}{d}})(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{T}\rfloor }Tcn{t}_T{)}^2$$

括号内的式子和逆元 $O(n\log n)$ 预处理就可以了。这样全部的式子都可以在 $O(n\log n)$ 的时间内计算。

这里给出一份代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-f;
		ch=getchar(); 
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
const int mod=998244353;
int qpow(int a,int b){
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
const int MAXN=1e6+10,N=1e6;
int n,A[MAXN],cnt[MAXN];
int mu[MAXN],inv[MAXN],f[MAXN];
int temp[MAXN],g[MAXN];
bool vis[MAXN];
void init(){
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		mu[i]=1;
		inv[i]=qpow(i,mod-2);
	} 
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(vis[i]) continue;
		mu[i]=-1;
		for(int j=i*2;j<=N;j+=i){
			vis[j]=1;
			mu[j]=-mu[j];
			if(j%(i*i)==0) mu[j]=0;
		}
	}
	for(int d=1;d<=N;d++)
		for(int T=d;T<=N;T+=d)
			f[T]=(f[T]+(mu[T/d]*inv[d]+mod)%mod)%mod;
	for(int T=1;T<=N;T++)
		for(int i=1;i<=N/T;i++)
			g[T]=(g[T]+i*T*cnt[i*T])%mod; 
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		A[i]=read();
		cnt[A[i]]++;
	}	
	init();
	int ans=0;
	for(int d=1;d<=N;d++)
		for(int k=1;k<=(N/d);k++)
			ans=(ans+mu[k]*g[d*k]%mod*g[d*k]%mod*inv[d])%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=(ans-A[i]+mod)%mod;
	cout<<ans*inv[2]%mod;
	return 0; 
}