初识，线段树和树状数组

这几天在网上看了很多关于线段树和树状数组的资料，感觉是很重要的数据结构，有必要边学边做下记录。

1.线段树

凡是关于线段树的资料，我想都有这么一张图，的确，它给了人最初的感性认识，其次这幅图在以后分析问题时也很有帮助：

 线段树的基本操作（由于线段树是一棵完全二叉树，且每条线段以类似“二分”的方法处理，因此时间复杂为O(logN)）：

typedef struct
{
 　　int l , r;    //线段左右端点
 　　int cover;    //是否被覆盖
}TreeNode;

TreeNode seg_tree[N];

/*创建线段树，叶节点为[a,a+1]*/
void CreateSegTree(int p , int a , int b)
{
    int m;

    seg_tree[p].l = a;
    seg_tree[p].r = b;
    seg_tree[p].cover = 0;

    m = (a + b) / 2;
    if(m > a)
    {
        CreateSegTree(2 * p , a , m);
        CreateSegTree(2 * p + 1 , m , b);
    }
}

/*插入线段*/
void InsertSegTree(int p , int a , int b)
{
    int m;

    if(seg_tree[p].l == a && seg_tree[p].r == b)
    {
        seg_tree[p].cover = 1;
        return;
    }
    
    m = (seg_tree[p].l + seg_tree[p].r) / 2;
    /*插入左子树*/
    if(b <= m)            
    {
        InsertSegTree(2 * p , a , b);
    }
    /*插入右子树*/
    else if(a >= m)        
    {
        InsertSegTree(2 * p + 1 , a , b);
    }
    /*分插两边*/
    else                
    {
        InsertSegTree(2 * p , a , m);
        InsertSegTree(2 * p + 1 , m ,b);
    }
}

/*删除线段(注意当删除一条线段时，要连同它的子树一起删除*/
/*eg:删除线段(1,5)那么像子线段(1,3),(3,5)之类的线段也要删除)*/
int DeleteSegTree(int p , int a , int b)
{
    int m , nRet;

    if(seg_tree[p].l + 1 == seg_tree[p].r)
    {
        nRet = seg_tree[p].cover;
        seg_tree[p].cover = 0;
        return nRet;
    }

    m = (seg_tree[p].l + seg_tree[p].r) / 2;
    /*原先完全覆盖*/
    if(seg_tree[p].cover == 1)    
    {
        seg_tree[p].cover = 0;
        seg_tree[2*p].cover = seg_tree[2*p+1].cover = 1;
    }
    if(b <= m)
    {
        return DeleteSegTree(2 * p , a , b);
    }
    if(a >= m)
    {
        return DeleteSegTree(2 * p + 1 , a , b);
    }
    else
    {
        return DeleteSegTree(2 * p , a , m) && DeleteSegTree(2 * p + 1 , m ,b);
    }
}

(这里的叶子结点是[a,a+1],也就是说线段树中的每个节点都是一个区间，叶节点的区间间隔是1，但是还有一种线段树它的划分方法是，[a , m ] 和 [m+1 , b] 它的叶节点是[a,a]，我们会根据不同的问题选择不同的线段树)

 

2.树状数组

以下摘自网上下的一个DOC文件

树状数组是一个查询（某一区间元素和）和修改（某一元素值），时间复杂度都为log(n)的数据结构（普通数组查询和修改的复杂度分别为O(n)和O(1),当数据量非常大时，且需要频繁求和，树状数组就能凸显其高效性），假设数组a[1...n]，那么查询a[1] + …… + a[i]　的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察一下这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2……Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

……

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

 

这里有一个有趣的性质，下午推了一下发现：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显：

Cn = A(n – 2^k + 1) + …… + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x)

{
 　　return x & (x ^ (x – 1));

}

当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3:  令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

 

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

 

所以整个程序如下：

int lowbit(int t)
{ 
    return t & (t^(t-1)); //t&(-t)
}
void modify(int pos , int num)
{
    while (pos<=n) 
    {
        in[pos] += num;
        pos += lowbit(pos);
    }
}
int query(int end)
{
    int sum = 0;
    while(end > 0) 
    {
        sum += in[end];
        end -= lowbit(end);
    }
    return sum;
}
memset(in, 0, sizeof(in)); //初始化
for (i = 1 ; i <= n ; i++) modify(i, a[i]);