0/1背包问题

0/1背包问题是背包问题中最基本的一种，其状态转移方程：m[i][j] = Max(m[i+1][j] , m[i+1][j - w[i]] + v[i])

 

对比了自己的代码和王晓东书上的代码，感觉在两方面值得自己学习：

1. jMax = Min(w[i] - 1 , c); 这样写法使得在（0 ~ jMax)可以直接赋值，无需判断，因此减少了判断次数；

2. 对于求m[1][c],并不是放在循环体里，而是单独拎出来求，这样就避免了求解很多“无意义”情况；

#include <stdio.h>

#define     Min(a,b)    ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define     Max(a,b)    ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define     N            20


int m[N][N] , v[N] , w[N] , n , c;

int Knapsack()
{
    int i , j , jMax;

    jMax = Min(w[n] - 1 , c);
    for(j = 0 ; j <= jMax ; j++)    m[n][j] = 0;
    for(j = w[n] ; j <= c ; j++)    m[n][j] = v[n];

    for(i = n - 1 ; i > 1 ; i--)
    {
        jMax = Min(w[i] - 1 , c);
        for(j = 0 ; j <= jMax ; j++)    m[i][j] = m[i+1][j];
        for(j = w[i] ; j <= c ; j++)    m[i][j] = Max(m[i+1][j] , m[i+1][j - w[i]] + v[i]);
    }
    m[1][c] = m[2][c];
    m[1][c] = Max(m[2][c] , m[2][c - w[1]] + v[1]);

    return    m[1][c];
}

void TraceBack(int *x)
{
    int i , j;

    for(i = 1 , j = c ; i < n ; i++)
    {
        if(m[i][j] == m[i+1][j])    
        {
            x[i] = 0;
        }
        else
        {
            x[i] = 1;
            j -= w[i];
        }
    }
    x[n] = m[n][j] ? 1 : 0;
}

int main(void)
{
    int x[N] , i;

    scanf("%d%d", &c , &n);                             //背包容量，背包个数
    for(i = 1 ; i <= n ; i++)    scanf("%d", w + i);     //物品重量
    for(i = 1 ; i <= n ; i++)    scanf("%d", v + i);     //物品价值

    printf("Max Value %d\n", Knapsack());
    TraceBack(x);
    printf("选择的物品：");
    for(i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        if(x[i]) printf("重量(%d)_价值(%d)  ", w[i] ,v[i]);
    }

    return    0;    
}

上面程序的时间复杂度和空间复杂度都是O(nc)。时间复杂度我们已经无法再优化了，但是空间复杂度我们还是可以降低到O(c)。

理由就是:每次求m[i][j]只需要利用前一行数据m[i+1][0~c],因此只要维护一个一维数组m[0~c]即可（也可以维护一个二维数组m[2][c],然后循环滚动赋值）

int Knapsack()
{
    int i , j , jMax;   
    
    jMax = Min(w[n] - 1 , c);   
    for(j = 0 ; j <= jMax ; j++)    m[j] = 0;    
    for(j = w[n] ; j <= c ; j++)    m[j] = v[n];
    
    for(i = n - 1 ; i > 1 ; i--)  
    {                  
        for(j = c ; j >= w[i] ; j--)  
        {
            m[j] = Max(m[j] , m[j - w[i]] + v[i]);    
        }
    }     
    m[c] = Max(m[c] , m[c - w[1]] + v[1]);
    return    m[c];
}

1.01-package （最直接应用）

题目描述：给定一个背包的容量k，给定n个物品的体积和价值，物品不可分割，将n个物品中选若干个物品放入背包，求背包内物品的最大价值总和，在价值总和最大的前提下求背包内的最小物品个数c。

分析：求最大价值的方法我们在前面已经分析过了，现在只要知道如何求最小物品个数。如果放入当前物品i 使总价值增加，那么当前物品数为：cnt[j] = cnt[j-w[i]] + 1(j为背包容量) ；如果放入当前物品不会对总价值造成影响，那么我们就要找“最小物品”即，cnt[j] = Min(cnt[j] , cnt[j - w[i]] + 1) ；

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define     Min(a,b)    ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define     N           2000

int m[N] , cnt[N] , w[N] , v[N] , n , c;

void Knapsack()
{
    int i , j , jMax;   
    
    jMax = Min(w[n] - 1 , c);   
    for(j = 0 ; j <= jMax ; j++)    {m[j] = 0;    cnt[j] = 0;}   
    for(j = w[n] ; j <= c ; j++)    {m[j] = v[n]; cnt[j] = 1;}
    
    for(i = n - 1 ; i > 1 ; i--)  
    {                   
        for(j = c ; j >= w[i] ; j--)  
        {
            if(m[j] < m[j - w[i]] + v[i])
            {
                m[j] = m[j - w[i]] + v[i];
                cnt[j] = cnt[j-w[i]] + 1;
            }
            else if(m[j] == m[j - w[i]] + v[i])
            {
                cnt[j] = Min(cnt[j] , cnt[j - w[i]] + 1);
            }    
        }
    }     
    
    if(m[c] < m[c - w[1]] + v[1])
    {
        m[c] = m[c - w[1]] + v[1];
        cnt[c] = cnt[c-w[1]] + 1;
    }
    else if(m[c] == m[c - w[1]] + v[1])
        cnt[c] = Min(cnt[c] , cnt[c - w[1]] + 1);
}


int main(void)
{     
    int z , i;
    
    scanf("%d", &z);
    while(z-- > 0)
    {
        scanf("%d%d", &n,&c);
        for(i =  1 ; i <= n ; i++)
            scanf("%d%d", v + i , w + i);

        Knapsack();
        printf("%d %d\n", m[c] ,cnt[c]); 
    }
    return    0;  

2.Incredible Cows
这道题实际可以抽象成：把一组数分成两个集合，使得这两个集合和的绝对值差最小。
分析：分成两个集合，那么一个数要么放在集合1，要么放在集合2，也就是，
x[i] = 0 : 第i个数放入第1个集合
x[i] = 1 ：第i个数放入第2个集合
这显然是个0/1背包问题，这里的物体重量w[i]就是i本身，且w[i]==v[i] ,(这题由于C较大用回溯法解决01背包而不是DP)

#include <stdio.h>

#define     Max(a,b)    ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define     N           35

int m[N] , w[N] , n , c , cw , best;

int Bound(int i)
{
    int  cleft = c - cw;
    int  b = cw;

    while(i <= n && w[i] <= cleft)
    {
        cleft -= w[i];
        b += w[i];
        i++;
    }
    if(i <= n) b += cleft;

    return b;
}

void Knapsack(int i)
{
    if(i > n)
    {
        best = Max(cw , best);
        return;
    }
    if(cw + w[i] <= c)     //left
    {
        cw += w[i];
        Knapsack(i + 1);
        cw -= w[i];
    }
    if(Bound(i+1) > best)  //right（剪枝）
    {
        Knapsack(i + 1);
    }
}

void QuickSort(int *arr , int left , int right)
{
    int        i , j , x , nTemp;

    if(left >= right)    //边界条件检查
        return;
    else
    {    
        //Partition
        i = left; j = right + 1; x = arr[i];
        while(1)
        {
            do    i++; while(i < j && arr[i] > x);
            do    j--; while(arr[j] < x);
            if(i > j)        break;
            //swap(i,j)
            nTemp = arr[i];    arr[i] = arr[j]; arr[j] = nTemp;
        }
        //swap(left,j)
        nTemp = arr[left];    arr[left] = arr[j]; arr[j] = nTemp;

        QuickSort(arr,left,j-1);
        QuickSort(arr,j+1,right);
    }
}


int main(void)
{     
    int z , i , k , j;
    
    scanf("%d", &z);
    while(z-- > 0)
    {
        k = cw = best = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(i =  1 ; i <= n ; i++)
        {
            scanf("%d" , w + i);
            k += w[i];
        }

        QuickSort(w,1,n);

        c = k / 2 + (k & 1);    //背包容量
        Knapsack(1);
        j = k - best;
        printf("%d\n", j > best ? j - best : best - j); 
    }
    return    0;   
}

总结：以后凡是遇到这种子集选取的问题，都可以抽象成01背包问题来解决（其中v[i]往往等于w[i])。