闫式DP分析法

闫式DP分析法

闫式DP分析法的核心思想是从集合的角度来分析DP问题。

所有的DP问题都可以使用闫式DP分析法进行分析。（经过70道题目验证通过）

1.选择DP问题：背包模型
2.序列DP问题
3.状态压缩问题
4.状态机问题
5.树形DP问题
6.区间DP问题
7.斜率优化问题

我们可以把做过的所有DP问题都看作是有限集上的最值问题。

DP问题 == 有限集上的最值问题

然而，由于这个有限集的数量级很高（通常是指数级别的），
所以肯定不能暴力地进行枚举，时间复杂度会过高。则需要使用DP来进行优化，DP的两个阶段：

1.化零为整，寻找共性——状态表示

所谓 化零为整 是指我们对于零星的情况，不是一个一个去枚举，
而是每次根据这些零星的情况的某些特性去枚举一类情况（即一个子集）
f(i)需要考虑的问题：
表示的是一个怎样的集合？
f(i)保存的值是什么意思(max/min/count/…)？与集合有什么关系?

2.化整为零，寻找不同——状态计算

如何去求f(i)呢？
我们要把它们划分成若干个不同的子集来求，每一个子集分别去求。需要满足的条件有：

不重复（可以不满足，例如求min,max。但是求count的时候，就不能重复）
不遗漏
例如，我们假设f(i)表示的是某个集合的最大值，那么可以每个子集的最大值的最大值。

那么问题来了，怎么进行集合f(i)的划分呢？
寻找最后一个不同点。

注意：

DP的优化是在DP的朴素分析完成之后才进行的。所以得先想好朴素分析，不要急于求成；
DP问题的所有优化都是对代码做等价变形；

摘自 https://blog.csdn.net/yc_cy1999/article/details/106106912