Johnson全源最短路

$Johnson$全源最短路：

$n$个点$m$条边
$Johnson$全源最短路算法
主要解决负环问题的全源最短路径算法

主要思路：

1.$SPFA$判断负环，在跑$SPFA$之前建立一个[超级源点]标号为0
与每一个点之间都存在一条 长度为0的路径
跑$SPFA$记录[0]到每个点的最短路 记为 $h[i]$
用此方法可以标记存在的负环
2.在跑$Dijkstra$之前调整每条边边权为非负
若$u->v$边权为$w$ 那么将每条边边权都增加 $h[u]-h[v]$，统计答案时需减去
证明：先画个图，利用三角形三边关系定理可得 $w+h[u]>=h[v]$
移项可得 $w+h[u]-h[v]>=0$ 所以在$w$上加$h[u]-h[v]$即可保证非负
3.跑$n$次$Dijkstra$(堆优化) 复杂度为$O(n^{2}logm)$
算法时间复杂度为$O(n^{2}logm)$

My_Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N=1e4+6010;
const ll inf=1e9;

ll read() {

	ll x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<48||ch>57) {
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>=48&&ch<=57) {
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;

}

ll head[N],to[N*2],dis[N*2],nxt[N*2],tot=0;

void add(int u,int v,int w) {

	nxt[++tot]=head[u];
	to[tot]=v;
	dis[tot]=w;
	head[u]=tot;

}

ll n,m;
ll h[N],cnt[N];
ll vis[N];

bool spfa(ll s) {

	queue<ll> p;
	for(ll i=1; i<=n; i++) {

		h[i]=inf;
		vis[i]=false;
		cnt[N]=0;

	}

	p.push(s);
	h[s]=0;
	cnt[s]++;
	vis[s]=true;
	
	while(!p.empty()) {

		ll u=p.front();
		p.pop();
		vis[u]=false;
		for(ll i=head[u]; i; i=nxt[i]) {

			ll v=to[i],w=dis[i];
			if(h[v]>h[u]+w) {

				h[v]=h[u]+w;
				if(vis[v]==false) {

					p.push(v);
					vis[v]=true;
					cnt[v]++;
					if(cnt[v]>=n+1) return true;

				}

			}

		}

	}
	return false;

}

ll d[N];
void Dijkstra(ll s) {

	priority_queue<pair<ll,ll>> q;
	for(ll i=1; i<=n; i++) {

		d[i]=inf;
		vis[i]=0;

	}
	d[s]=0;
	q.push(make_pair(0,s));

	while(!q.empty()) {

		ll u=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		
		for(ll i=head[u]; i; i=nxt[i]) {

			ll v=to[i],w=dis[i];
			if(d[v]>d[u]+w) {

				d[v]=d[u]+w;
				q.push(make_pair(-d[v],v));

			}

		}

	}

}

signed main() {

	n=read();
	m=read();

	for(int i=1; i<=m; i++) {

		int u=read(),v=read(),w=read();
		add(u,v,w);

	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {

		add(0,i,0);//加入超级源点0

	}

	if(spfa(0)) {

		printf("-1\n");
		return 0;

	}

	for(int u=1; u<=n; u++) {

		for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) {

			int v=to[i];
			dis[i]+=(h[u]-h[v]);

		}

	}

	for(int i=1; i<=n; i++) {

		Dijkstra(i);
		int ans=0;
		for(int j=1; j<=n; j++) {

			if(d[j]==inf) ans+=inf*j;
			else ans+=j*(d[j]-(h[i]-h[j]));

		}
		printf("%lld\n",ans);

	}

	return 0;
}