[字符串入门]Z-函数（扩展 KMP）
一个小约定：下文中的所有字符串下标都从 \(0\) 开始。
#1.0 什么是 Z-函数
对于一个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\)，定义函数 \(z(i)\) 表示 \(S[i,n-1]\)，即以 \(S[i]\) 开头的后缀，与 \(S\) 的最长相同前缀（\(\texttt{Longest Common Prefix, LCP}\)）的长度，特别地，我们定义 \(z(0)=0\)。\(z\) 被称为 \(S\) 的 Z-函数。
别看它还有另一个名字扩展 KMP，但是实际上 \(\texttt{KMP}\) 算法与 \(\tt{Z}\)-函数除了看起来思想上很像，\(\tt{Z}\)-函数比 \(\tt{KMP}\) 能实现的功能好像多一点外，没有任何联系。
#2.0 求解 Z-函数
#2.1 朴素算法
很显然，上面的做法是 \(O(n^2)\) 的。
#2.2 线性算法
这里有一个思想与 \(\tt{KMP}\) 有些类似：运用之前已有的状态加速计算当前状态。这种思想在 \(\tt{Manacher}\) 算法等许多字符串算法中同样有体现。
我们假设当前已经计算出了 \(z(0),z(1),\cdots,z(i-1)\) ，现在来考虑如何计算 \(z(i).\)
先来定义几个概念：
- 匹配段（Z-Box）：对于 \(x\)，我们称 \([x,x+z(x)-1]\) 为 \(x\) 的匹配段；
- 记当前右端点最靠右的匹配段为 \([l,r].\)
在计算 \(z(i)\) 过程中，保证 \(l\leq i\)。初始时 \(l=r=0\)。
如果当前 \(i\leq r\)，那么根据 \(z\) 的定义有 \(S[l,r]=S[0,r-l]\)，所以有 \(S[i,r]=S[i-l,r-l]\)，那么 \(S[i,n-1]\) 与 \(S\) 的 \(\tt{LCP}\) 长度 \(z(i)\) 只有以下可能：
-
当 \(z(i-l)<r-i+1\) 时，\(z(i)=z(i-l)\)。
来看下面这张图，我们知道根据 \(z\) 的定义，应当有 \(S[i-l,i-l+z(i-l)-1]=S[0,z[i-l]-1]\)，而又有 \(S[i,r]=S[i-l,r-l]\)，所以如果 \(z(i-l)<r-i+1\)，意味着相同前缀的长度不可能超过 \(z(i-l)\)，否则与 \(z(i-l)\) 的定义相悖。
-
当 \(z(i-l)\geq r-i+1\) 时，应当先令 \(z(i)=r-i+1\)，再尽可能地向后扩展。
如同下面这张图，我们只能确定 \(S[i,r]=S[i-l,r-l]\) 相同，后面的无法确定。
当 \(i>r\) 时，我们无法用已知状态进行转移，只能暴力向后扩展。
结束当前计算后，我们检查是否有 \(i+z(i)-1>r\)，如果是，那么更新 \([l,r].\)
于是得到代码：
inline void z_func() {
for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < lenb; ++ i) {
if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1)
z[i] = z[i - l];
else {
/*注意进入 else 的可能时 r < i 的情况，
所以下面的 z[i] 应当取 Max(0, r - i + 1)*/
z[i] = Max(0, r - i + 1);
while (i + z[i] < lenb && b[z[i]] == b[i + z[i]])
++ z[i]; //尽可能向后扩展。
}
if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
/*更新 [l,r] 的范围*/
}
}
#3.0 Z-函数的应用
#3.1 LG P5410 扩展 KMP（Z 函数）
并不知道该给这种应用起什么名字。
-
操作一就是基础的 \(\tt{Z}\)-函数，只不过要注意需要单独处理 \(z(0)\)，显然是 \(b\) 的长度。
-
操作二与 \(\tt Z\)-函数的定义十分相似，所以依旧考虑使用已经求出的 \(z\) 进行加速求解。
整体的讨论与上面没有任何区别，这里略去不写。注意仍需单独处理。
const int N = 20000100;
const int INF = 0x3fffffff;
int lena, lenb, z[N], p[N];
ll ans1, ans2;
string a, b;
template <typename T>
inline T Max(const T a, const T b) {
return a > b ? a : b;
}
template <typename T>
inline T Min(const T a, const T b) {
return a < b ? a : b;
}
inline void z_func() {
for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < lenb; ++ i) {
if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1)
z[i] = z[i - l];
else {
z[i] = Max(0, r - i + 1);
while (i + z[i] < lenb && b[z[i]] == b[i + z[i]])
++ z[i];
}
if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
}
}
inline void p_func() {
for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < lena; ++ i) {
if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1)
p[i] = z[i - l];
else {
p[i] = Max(0, r - i + 1);
while (i + p[i] < lena && b[p[i]] == a[i + p[i]])
++ p[i];
}
if (i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
}
while (p[0] < Min(lena, lenb) && b[p[0]] == a[p[0]]) p[0] ++;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cin >> a >> b;
lena = a.length(), lenb = b.length();
z_func(); z[0] = lenb; p_func();
for (int i = 0; i < lenb; i ++)
ans1 ^= ((ll)(i + 1) * (z[i] + 1));
for (int i = 0; i < lena; i ++)
ans2 ^= ((ll)(i + 1) * (p[i] + 1));
printf("%lld\n%lld", ans1, ans2);
return 0;
}
#3.2 模式串匹配
用 \(\tt Z\) 函数做模式串匹配很简单，将要寻找的串凭借在文本串前，两者中间用 # 等不会在两个串中出现的字符连接，求出新串的 \(\tt Z\) 函数，枚举每个位置上的 \(z\)，如果 \(z[i]\) 等于模式串的长度，那么该位置存在我们要找的模式串。
中间的 # 是为了保证匹配的最大长度不会超过模式串的长度。
正确性显然。
