[图论入门]Tarjan & 强连通分量
Tarjan 算法求强连通分量。
#1.0 何为强连通分量？
若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通的 (Strongly connected)。
强连通分量（Strongly Connected Components，SCC）的定义是：极大的强连通子图。
#2.0 Tarjan 算法
\(\text{Robert E. Tarjan}\) 罗伯特·塔扬 (\(1948\) ~ )，生于美国加州波莫纳，计算机科学家。
\(\text{Tarjan}\) 发明了很多算法结构。不少他发明的算法都以他的名字命名，以至于有时会让人混淆几种不同的算法。比如求各种连通分量的 \(\text{Tarjan}\) 算法，求 LCA（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）的 \(\text{Tarjan}\) 算法。并查集、Splay、Toptree 也是 Tarjan 发明的。
#2.1 DFS 生成树
有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）：
- 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。
- 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。
- 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 并不是 当前结点的祖先时形成的。
- 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。
显然，如果结点 \(u\) 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 \(u\) 为根的子树中。\(u\) 被称为这个强连通分量的根。
#2.2 算法流程
在 Tarjan 算法中为每个结点 维护了以下几个变量：
dfn[u]：深度优先搜索遍历时结点 \(u\) 被搜索的次序。low[u]：设以 \(u\) 为根的子树为 \(\text{subtree}_u\)。定义low[u]为以下结点的dfn的最小值：\(\text{subtree}_u\) 中的结点；从 \(\text{subtree}_u\) 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。
按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 \(u\) 和与其相邻的结点 \(v\)（\(v\) 不是 \(u\) 的父节点）考虑 \(3\) 种情况：
- \(v\) 未被访问：继续对 \(v\) 进行深度搜索。在回溯过程中，用
low[v]更新low[u]。因为存在从 \(u\) 到 \(v\) 的直接路径，所以 \(v\) 能够回溯到的已经在栈中的结点，\(u\) 也一定能够回溯到。 - \(v\) 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过 \(v\)，根据
low值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用low[v]更新low[u]。 - \(v\) 被访问过，已不在在栈中：说明 \(v\) 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。
图中红色节点表示在栈内，黑色表示已出栈。
观察上面的流程，会发现上图的 SCC 的编号与该图缩点后自顶向下的拓扑序（从入度为零的点开始）相反，这个结论我们会在 2-sat 问题构造解时用到。
#2.3 代码实现
inline void tarjan(int x){
dfn[x] = low[x] = ++ T; //T 初值为 0 的全局变量
st[++ frt] = x;inst[x] = true; //st[] 是栈，inst[] 表示当前是否在栈内
for (int i = head[x];i;i = e[i].nxt)
if (!dfn[e[i].v]){
tarjan(e[i].v);
low[x] = min(low[x],low[e[i].v]);
}
else if (inst[e[i].v])
low[x] = min(low[x],dfn[e[i].v]);
if (dfn[x] == low[x]){
int y;cnt ++; //cnt 是全局变量，记录强连通分量的个数
do{
y = st[frt --];
inst[y] = false;
belong[y] = cnt;
} while (y != x);
}
}
#3.0 例题
#3.1 P3387 【模板】缩点
#3.1.1 思路
因为边和点都可以随便走，故在一个强连通分量里，只要有一个点被访问，那么整个强连通分量都可以被访问，所以可以将整个强连通分量缩点，再用拓扑做 DAG 上的动态规划。
注意以下几点：
- 缩点时我们可以选定
dfn最小的那个为整个强连通分量的代表元素； - 我们应当将整个强连通分量的点权加到代表元素上；
- 缩点后需要重新建图，建图方法：
- 遍历所有的边，
- 检查该边两端的两点是否在同一连通分量：
- 是，则建边。
- 不是，不管。
- 建边时需要记录入度（出度不必要）。
#3.1.2 代码实现
const int N = 100010;
const int INF = 0x3fffffff;
struct Edge{
int u,v;
int nxt;
};
Edge e[N],ne[N];
int n,m,cnt = 1,ncnt = 1,head[N],T,cnt2,belong[N];
int dfn[N],low[N],st[N],inst[N],frt,fl[N],ans;
int icnt[N],ocnt[N],data[N],nhead[N],f[N];
queue <int> q;
inline int Min(const int &a,const int &b){
return a < b ? a : b;
}
inline int Max(const int &a,const int &b){
return a > b ? a : b;
}
inline void add(const int &u,const int &v){
e[cnt].u = u;
e[cnt].v = v;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt ++;
}
inline void addn(const int &u,const int &v){
ne[ncnt].u = u;
ne[ncnt].v = v;
ne[ncnt].nxt = nhead[u];
nhead[u] = ncnt ++;
icnt[v] ++;ocnt[u] ++;
}
inline void tarjan(int x){
dfn[x] = low[x] = ++ T;
st[++ frt] = x;inst[x] = true;
for (int i = head[x];i;i = e[i].nxt)
if (!dfn[e[i].v]){
tarjan(e[i].v);
low[x] = Min(low[x],low[e[i].v]);
}
else if (inst[e[i].v])
low[x] = Min(low[x],dfn[e[i].v]);
if (dfn[x] == low[x]){
int y;
do{
y = st[frt --];
inst[y] = false;
belong[y] = x;
if (x != y) data[x] += data[y];
} while (y != x);
fl[x] = true;
}
}
inline void tobo(){
for (int i = 1;i <= n;i ++)
if (!icnt[i] && fl[i]){
q.push(i);
f[i] = data[i];
}
while (q.size()){
int now = q.front();q.pop();
for (int i = nhead[now];i;i = ne[i].nxt){
icnt[ne[i].v] --;
f[ne[i].v] = Max(f[ne[i].v],data[ne[i].v] + f[now]);
if (!icnt[ne[i].v])
q.push(ne[i].v);
}
}
for (int i = 1;i <= n;i ++)
ans = Max(ans,f[i]);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1;i <= n;i ++)
scanf("%d",&data[i]);
for (int i = 1;i <= m;i ++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
for (int i = 1;i <= n;i ++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1;i <= m;i ++)
if (belong[e[i].u] != belong[e[i].v])
addn(belong[e[i].u],belong[e[i].v]);
tobo();
printf("%d",ans);
return 0;
}
