[DP 浅析]四边形不等式优化

下面的证明的思想多数为数学归纳、分类讨论或反证法。

简述

定义 $w(i,j)$ 为一个定义在 $\mathbb{Z}$ 上的二元函数，有如下定义：

定义 1：如果对于任意 $\ell_1\leq \ell_2\leq r_1\leq r_2$，都有

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_2,r_2)\leq w(\ell_1,r_2)+w(\ell_2,r_1)$$

成立，那么称 $w$ 满足四边形不等式（即“交叉小于包含”），如果等号始终成立，那么称 $w$ 满足四边形恒等式。

定义 2：如果对于任意 $\ell\leq\ell'\leq r'\leq r$，都有 $w(\ell,r)\geq w(\ell',r')$ 成立，那么则称 $w$ 对于区间包含关系具有单调性。

定理 1：如果对于定义域上任意 $\ell<r$，都有

$$w(\ell, r)+w(\ell+1,r+1)\leq w(\ell,r+1) + w(\ell+1,r)$$

成立，那么 $w(\ell,r)$ 满足四边形不等式。

证明：先来证明对于任意 $\ell_1\leq\ell_2\leq r_1$，都有

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_2,r_1+1)\leq w(\ell_1,r_1+1)+w(\ell_2,r_1).\tag1$$

对于 $i=\ell_2-\ell_1$ 进行归纳，显然当 $i=0$ 时上式成立，下面证明对 $i\in[1,r_1-\ell_1]$ 成立。

首先根据归纳假设，有

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_1+i-1,r_1+1)\leq w(\ell_1,r_1+1)+w(\ell_1+i-1,r_1),\tag2$$

因为 $i\leq r_1-\ell_1$，于是有 $\ell_1+i-1<r_1$，应当有

$$w(\ell_1+i-1,r_1)+w(\ell_1+i,r_1+1)\leq w(\ell_i+i,r_1)+w(\ell_1+i-1,r_1+1),\tag3$$

将 $(2)$ 与 $(3)$ 左右两边分别相加，于是有

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_1+i,r_1+1)\leq w(\ell_1+1,r_1+1)+w(\ell_1+i,r_1),$$

于是对于 $\forall\ell_1,\ell_2,r_1\in\mathbb Z,\ell_1\leq\ell_2\leq r_1$，$(1)$ 都成立。

在上面的基础上，我们再来证明对于 $\forall\ell_1,\ell_2,r_1,r_2\in\mathbb Z,\ell_1\leq\ell_2\leq r_1\leq r_2$，都有四边形不等式成立。同理，对 $j=r_2-r_1$ 进行归纳，显然当 $j=0$ 时四边形不等式成立，下面对于 $j>0$ 的情况进行证明。

首先根据归纳假设，有

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_2,r_1+j-1)\leq w(\ell_1,r_1+j-1)+w(\ell_2,r_1),\tag4$$

因为 $r_1+j-1\geq\ell_2\geq\ell_1$，根据 $(1)$，应当有

$$w(\ell_1,r_1+j-1)+w(\ell_2,r_1+j)\leq w(\ell_1,r_1+j)+w(\ell_2,r_1+j-1)\tag5$$

将 $(4)$ 与 $(5)$ 左右两边分别相加可得

$$w(\ell_1,r_1)+w(\ell_2,r_1+j)\leq w(\ell_1,r_1+j)+w(\ell_2,r_1),$$

于是假设成立，即四边形不等式成立。

证毕.

应用

优化 2D1D 动态规划

区间型 DP

常见的一种动态规划的状态转移方程为

$$f_{\ell,r}=\min\limits_{\ell\leq k<r}\{f_{\ell,k}+f_{k+1,r}\}+w(\ell, r), \qquad(1\leq\ell<r\leq n)$$

直接简单实现上面的转移，那么时间复杂度为 $O(n^3)$，如果 $w(l,r)$ 满足一些特殊性质，那么我们可以用四边形不等式对其进行优化。

定理 2：如果 $w(\ell, r)$ 满足四边形不等式且对于区间包含关系具有单调性，那么状态 $f_{l,r}$ 满足四边形不等式。

证明：定义 $g_{k,\ell,r}=f_{\ell,k}+f_{k+1,r}+w(\ell, r)$，表示决策点为 $k$ 时的状态值，任取 $\ell_1\leq\ell_2\leq r_1\leq r_2$，记 $u=\mathop{\arg\min}\limits_{\ell_1\leq k<r_2}\ g_{k,\ell_1,r_2},v=\mathop{\arg\min}\limits_{\ell_2\leq k<r_1}\ g_{k,\ell_2,r_1}$，分别表示 $f_{\ell_1,r_2}$ 和 $f_{\ell_2,r_1}$ 的最小最优决策点。

首先，如果 $\ell_1=\ell_2$，那么显然成立，然后考虑对于 $r_2-r_1$ 进行归纳，显然当 $r_2-r_1=0$ 时成立。

• $\ell_1<\ell_2=r_1<r_2$ （$w$ 需要对于区间包含关系具有单调性）

  • 若 $u<r_1$，则 $f_{\ell_1,r_1}\leq f_{\ell_1,u}+f_{u+1,r_1}+w(\ell_1,r_1)$，根据归纳假设，有 $f_{u+1,r_1}+f_{\ell_2,r_2}\leq f_{u+1,r_2}+f_{\ell_2,r_1}$，两式相加即得

    $$f_{\ell_1,r_1}+f_{\ell_2,r_2}\leq f_{u+1,r_2}+f_{\ell_2,r_1}+f_{\ell_1,u}+w(\ell_1,r_1)\leq f_{\ell_2,r_1}+f_{\ell_1,r_2}$$

  • 若 $u\geq r_1$，则 $f_{\ell_2,r_2}\leq f_{\ell_2,u}+f_{u+1,r_2}+w(\ell_2,r_2)$，根据归纳假设，有 $f_{\ell_1,r_1}+f_{\ell_2,u}\leq f_{\ell_1,u}+f_{\ell_2,r_1}$，两式相加即得

    $$f_{\ell_1,r_1}+f_{\ell_2,u}\leq f_{\ell_1,u}+f_{\ell_2,r_1}+f_{u+1,r_2}+w(\ell_2,r_2)\leq f_{\ell_2,r_1}+f_{\ell_1,r_2}$$

• $\ell_1<\ell_2<r_1<r_2$（$w$ 仅需满足四边形不等式）

  • 若 $u\leq v$，则 $l_1\leq u< r_1,\ l_2\leq v< r_2$，因此

    $$\begin{aligned} f_{l_1,r_1} \leq g_{u,l_1,r_1} &= f_{l_1,u} + f_{u+1,r_1} + w(l_1,r_1) \\ f_{l_2,r_2} \leq g_{v,l_2,r_2} &= f_{l_2,v} + f_{v+1,r_2} + w(l_2,r_2) \end{aligned}$$

    再由 $u+1 \leq v+1 \leq r_1 \leq r_2$ 和归纳假设知

    $$f_{u+1,r_1} + f_{v+1,r_2} \leq f_{u+1,r_2} + f_{v+1,r_1}$$

    将前两个不等式累加，并将第三个不等式代入，可得

    $$\begin{aligned} f_{l_1,r_1} + f_{l_2,r_2} & \leq f_{l_1,u} + f_{l_2,v} + f_{u+1,r_1} + f_{v+1,r_2} + w(l_1,r_1) + w(l_2,r_2) \\ & \leq g_{u,l_1,r_2} + g_{v,l_2,r_1} = f_{l_1,r_2} + f_{l_2,r_1} \end{aligned}$$

  • 若 $v< u$，则 $l_1\leq v<r_1,l_2\leq u<r_2$，因此

    $$\begin{aligned} f_{l_1,r_1} \leq g_{v,l_1,r_1} &= f_{l_1,v} + f_{v+1,r_1} + w(l_1,r_1) \\ f_{l_2,r_2} \leq g_{u,l_2,r_2} &= f_{l_2,u} + f_{u+1,r_2} + w(l_2,r_2) \end{aligned}$$

    再由 $l_1 \leq l_2 \leq v \leq u$ 和归纳假设知

    $$f_{l_1,v} + f_{l_2,u} \leq f_{l_1,u} + f_{l_2,v}$$

    将前两个不等式累加，并将第三个不等式代入，可得

    $$\begin{aligned} f_{l_1,r_1} + f_{l_2,r_2} & \leq f_{l_1,u} + f_{l_2,v} + f_{v+1,r_1} + f_{u+1,r_2} + w(l_1,r_2) + w(l_2,r_1) \\ & \leq g_{u,l_1,r_2} + g_{v,l_2,r_1} = f_{l_1,r_2} + f_{l_2,r_1} \end{aligned}$$

综上所述，两种情形均有 $f_{l_1,r_1} + f_{l_2,r_2} \leq f_{l_1,r_2} + f_{l_2,r_1}$，即四边形不等式成立。

证毕.

定理 3：若状态 $f$ 满足四边形不等式，记 $m_{l,r}=\min\{k:f_{l,r} = g_{k,l,r}\}$ 表示最优决策点，则有

$$m_{l,r-1} \leq m_{l,r} \leq m_{l+1,r} \qquad (l + 1 < r)$$

证明：记 $u = m_{l,r},\ k_1=m_{l,r-1},\ k_2=m_{l+1,r}$，分情况讨论：

• 若 $k_1>u$，则 $u+1 \leq k_1+1 \leq r-1 \leq r$，因此根据四边形不等式有

  $$f_{u+1,r-1} + f_{k_1+1,r} \leq f_{u+1,r} + f_{k_1+1,r-1}$$

  再根据 $u$ 是状态 $f_{l,r}$ 的最优决策点可知

  $$f_{l,u} + f_{u+1,r} \leq f_{l,k_1} + f_{k_1+1, r}$$

  将以上两个不等式相加，得

  $$f_{l,u} + f_{u+1,r-1} \leq f_{l,k_1}+f_{k_1+1,r-1}$$

  即 $g_{u,l,r-1} \leq g_{k_1,l,r-1}$，但这与 $k_1$ 是最小的最优决策点矛盾，因此 $k_1\leq u$。

• 若 $u>k_2$，则 $l\leq l+1 \leq k_2\leq u$，根据四边形不等式可得

  $$f_{l,k_2} + f_{l+1,u} \leq f_{l,u} + f_{l+1, k_2}$$

  再根据 $k_2$ 是状态 $f_{l+1, r}$ 的最优决策点可知

  $$f_{l+1,k_2} + f_{k_2+1, r} \leq f_{l+1,u} + f_{u+1,r}$$

  将以上两个不等式相加，得

  $$f_{l,k_2}+f_{k_2+1,r} \leq f_{l,u} + f_{u+1,r}$$

  即 $g_{k_2,l,r} \leq g_{u,l,r}$，但这与 $u$ 是最小的最优决策点矛盾，因此 $u \leq k_2$。

证毕.

因此，如果在计算状态 $f_{l,r}$ 的同时将其最优决策点 $m_{l,r}$ 记录下来，那么我们对决策点 $k$ 的总枚举量将降为

$$\sum_{1\leq l<r\leq n} (m_{l+1,r} - m_{l,r-1}) = \sum_{i=1}^n (m_{i,n} - m_{1,i})\leq n^2$$

上式的第一个等号可以通过将两个 $\Sigma$ 分别展开合并同类项得证。

另一形式

另一种常见的状态转移方程为

$$f_{i,j}=\min\limits_{k\leq j}\{f_{i-1,k}+w(k,j)\},\qquad(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)$$

具有与上面同样的结论与性质。

优化 1D1D 动态规划

定理及证明

一种常见的状态转移方程为

$$f_i=\min\limits_{0\leq j<i}\{f_j+w(i,j)\}$$

定理 4：若 $w$ 满足四边形不等式，那么 $f$ 具有决策单调性。

证明：设 $p_i$ 为 $f_i$ 的最优决策点，对于 $\forall i\in[1,n],\forall j\in[0,p_i-1]$，有

$$f_{p_i}+w(p_i,i)\leq f_j+w(j,i),\tag6$$

$\forall i'\in[i+1,n]$，由于 $w$ 满足四边形不等式，于是有

$$w(j,i)+w(p_i,i')\leq w(j,i')+w(p_i,i),\tag7$$

将 $(6)$ 和 $(7)$ 左右两部分分别相加即得

$$f_{p_i}+w(p_i,i')\leq f_j+w(j,i'),$$

也就说明了应有 $p_{i'}\geq p_i$，即决策单调性。

证毕.

实现

由于决策单调性，$p$ 一定是一个非严格递增的序列，我们对 $p$ 进行维护，即对于当前转移完的 $i$，我们考虑从哪里开始 $i$ 开始作为最优的决策点。

显然一种朴素的做法是直接在 $p$ 上进行二分，找到对应位置 $pos$，然后 $\forall j\in[pos,n]$，将 $p_j$ 修改为 $i$。

一种更为简洁的做法是，用一个队列维护 $p$，利用 $p$ 是一个非严格递增的序列的性质，每一段相同的用一个三元组 $(t_k,l_k,r_k)$，表示当前 $\forall i\in[l_k,r_k],p_i=t_k$.

同时，如果一个三元组的右边界已经小于当前处理的位置，它一定不再有贡献，可以直接丢掉，于是就类似与单调队列，此时第一个合法的队头就是该位置的最优决策点。

考虑用 $i$ 更新决策点的过程，我们按照以下步骤进行：

1. 取出队尾的三元组 $(t_k,l_k,r_k)$；

2. 若 $f_i+w(i,l_k)<f_{t_k}+w(t_k,l_k)$，令 $pos=l_k$，删掉该三元组，回到 1.

3. 若 $f_i+w(i,r_k)>f_{t_k}+w(t_k,r_k)$，直接到 5.

4. 在 $[l_k,r_k]$ 上二分，找到第一个可行位置，更新为 $pos$；

5. 在队尾加入 $(i,pos,n)$；

整体时间复杂度为 $O(n\log n)$.

参考资料

[1] 四边形不等式优化 - OI Wiki

[2] 四边形不等式 - Pedesis