[考试总结]ZROI-21-NOIP冲刺-TEST11 总结

#T1 因子差

Time Limit: 1s | Memory Limit: 512MiB

#题意简述

认为一个数是有趣的，当且仅当：

• 这个数是一个正整数；
• 这个数至少有 \(4\) 个不同的因子；
• 这个数的任意两个因子之间的差都不小于 \(n(n\leq10^5)\) 。

问最小的有趣的数是多少。多组数据。

#大体思路

首先一个数 \(x\) 必然有两个因子 \(1\) 和 \(x\)，于是我们只需要让第一个因数 \(p_1\) 是大于等于 \(n+1\) 的第一个质数，\(p_2\) 是大于等于 \(p_1+1\) 的第一个质数，不难证明这样必然是最优的（考虑一个非质数的因子），于是我们可以提前预处理出质数，然后 lower_bound 即可。

#Code

const int N = 500010;
const int INF = 0x3fffffff;

template <typename T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
    x *= f;
}

int prm[N], nprm[N], ncnt;

inline void euler(int x) {
    for (int i = 2; i <= x; ++ i) {
        if (!nprm[i]) prm[++ ncnt] = i;
        for (int j = 1; j <= ncnt; ++ j) {
            if (prm[j] * i > x) break;
            nprm[i * prm[j]] = 1;
            if (!(i % prm[j])) break;
        }
    }
}

int t, n;

#define lb(l, len, x) lower_bound(l + 1, l + len + 1, x)

int main() {
    euler(5e5); read(t);
    while (t --) {
        read(n);
        int pos1 = lb(prm, ncnt, n + 1) - prm;
        int prm1 = prm[pos1];
        int pos2 = lb(prm, ncnt, prm1 + n) - prm;
        int prm2 = prm[pos2];
        printf("%lld\n", 1ll * prm1 * prm2);
    }
    return 0;
}

#T2 生成树

Time Limit: 1s | Memory Limit: 512MiB

#题意简述

给定一个 \(n(n\leq1000)\) 个点的完全图，每次删去一个生成树，问最多能删多少次，并给出方案。

\(t(t\leq500)\) 组数据，保证满足 \(\sum n\leq1000\).

#大体思路

构造题，具体见代码。

#Code

const int N = 100010;
const int INF = 0x3fffffff;

template <typename T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
    x *= f;
}

int t, n, a[N];

inline void solve() {
    int mid = 1 + n >> 1, l = mid, r = mid + 1;
    for (int i = 1; i < n; ++ i) {
        printf("%d %d\n", a[l], a[r]);
        if (i & 1) -- l; else ++ r;
    }
}

inline void change() {
    for (int i = n + 1; i > 1; -- i) a[i] = a[i - 1];
    a[1] = a[n + 1];
}

int main() {
    read(t);
    for (int i = 1; i <= t; ++ i) {
        read(n); printf("Case #%d: %d\n", i, n / 2);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) a[i] = i;
        for (int k = 1; k <= n / 2; ++ k)
          solve(), change();
    }
    return 0;
}

#T3 划分树

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#题意简述

给定一棵 \(n(n\leq10^5)\) 的树，每个节点有一个权值 \(w_i(w_i\leq10^9)\)，给定 \(K(K\leq n)\)，要求将整棵树通过断开 \(K-1\) 条边划分为 \(K\) 部分，使得到的森林的权值最小。

定义一棵树的权值为树上所有的节点的权值的和，一个森林的权值为森林中的所有树的权值中的最大值。

\(t(t\leq10^5)\) 组数据，保证 \(\sum n\leq2\cdot10^5\).

#大体思路

要求最大值最小，直接二分不亏，现在来考虑如何对于 \(x\) 进行判定。

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树内满足条件至少需要断开多少条边，\(g_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树与 \(i\) 相连的连通快的大小，然后对于每个 \(i\)，贪心地选其中 \(g\) 小的一定更优。

于是直接 sort() 后 DP 即可，时间复杂度为 \(O(n\log^2n)\).

#Code

#define ll long long
#define mset(l, x) memset(l, x, sizeof(l))

const int N = 300010;
const int INF = 0x3fffffff;

template <typename T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
    x *= f;
}

struct Edge {int u, v, nxt;} e[N << 1];

int t, k, n, w[N], head[N], ecnt(1), f[N]; ll sum, siz[N];

vector <ll> all_siz[N];

inline void reset() {mset(head, 0); ecnt = 1, sum = 0;}

inline void add_edge(int u, int v) {
    e[ecnt].u = u, e[ecnt].v = v;
    e[ecnt].nxt = head[u], head[u] = ecnt ++;
}

void solve(int x, int fa, ll lmt) {
    f[x] = 0, siz[x] = 0; all_siz[x].clear();
    int cnt = 0; siz[x] = w[x];
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        if (e[i].v == fa) continue;
        solve(e[i].v, x, lmt); ++ cnt;
        all_siz[x].push_back(siz[e[i].v]);
        f[x] += f[e[i].v];
    }
    sort(all_siz[x].begin(), all_siz[x].end());
    for (auto k : all_siz[x]) {
        if (siz[x] + k <= lmt) siz[x] += k, -- cnt;
        else break;
    }
    f[x] += cnt;
}

inline bool check(ll x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) if (x < w[i]) return false;
    solve(1, 0, x); return f[1] <= k - 1;
}

void MAIN() {
    read(n), read(k); reset();
    for (int i = 1; i < n; ++ i) {
        int u, v; read(u), read(v);
        add_edge(u, v), add_edge(v, u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) read(w[i]), sum += w[i];
    ll l = 0, r = sum, res = sum;
    while (l <= r) {
        ll mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) res = mid, r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    printf("%lld\n", res);
}

int main() {read(t); for (int i = 1; i <= t; ++ i) {printf("Case #%d: ", i); MAIN();} return 0;}

#T4

巨大恶心的可持久化数组维护分块的字符串题，咕咕咕～