[题解]UVA11478 Halum

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#0.0 题目翻译

给定一张带权有向图，定义操作 \(\texttt{Halum(}x,d\texttt{)}\) 为将所有以 \(x\) 为终点的边的权值减少 \(d\)，将所有以 \(x\) 为起点的边的权值增加 \(d\)，问通过若干次这样的操作，可得到的最小边权的最大值是多少。

#1.0 简单思路

不难发现，多次作用于同一个点的 \(\texttt{Halum}\) 操作不受顺序影响，即先 \(\texttt{Halum(}x,d_1\texttt{)}\) 再 \(\texttt{Halum(}x,d_2\texttt{)}\) 和先 \(\texttt{Halum(}x,d_2\texttt{)}\) 再 \(\texttt{Halum(}x,d_1\texttt{)}\) 这两种操作顺序对结果没有影响，所以不妨设 \(S_x\) 表示所有在 \(x\) 上的操作的 \(d\) 值之和。

看到最小值最大立刻想到二分答案，那么题目转化为给定 \(t\)，问是否存在操作使得对任意的边 \((x,y)\) 满足

\[w(x,y)-S_y+S_x\geq t \]

即

\[S_y-S_x\leq w(x,y)-t \]

发现上式符合差分约束系统的式子，那么建一条 \(x\to y\) 的边，权值为 \(w(x,y)-t\) ，再新建一个 \(0\) 号节点，向所有点连一条权值为 \(0\) 的边，也就是将 \(S\) 限制在负数，判断这张新图有没有负环即可。

但是，直接采用队列优化的 \(\texttt{Bellman-Ford}\) 算法（\(\texttt{SPFA}\)）会 \(\texttt{TLE}\)，而我们只需要知道当前差分约束系统有没有解，所以可以采用 \(\texttt{DFS}\) 实现对负环的判断，相对要更快。

一点细节：

• 二分答案时，假设当前中点为 \(x\)，若产生的差分约束系统中存在负环，说明 \(x\) 太大了！且不是合法答案，应当执行 \(r=x-1\)，如果不存在负环，说明 \(x\) 是合法答案，应当令 \(l=x\)（这里用 \(l\) 记录答案），循环的终止条件为 \(l=r\)；
• 在求中点时应当是 \(mid=\dfrac{l + r + 1}{2}\)，\(+1\) 的原因是不能整除的情况尽量往大里选，防止像 \(l=12,r=13\)，\(l\) 合法，\(r\) 不合法，但永远达不到 \(l=r\) 的情况出现。

#2.0 代码实现

#define mset(l, x) memset(l, x, sizeof(l))

const int N = 100010;
const int INF = 0x3fffffff;

struct Edge {
    int u, v, w;
    int nxt;
};
Edge e[N], ne[N];

int n, m, cnt, ncnt, head[N], nhead[N];
int inq[N], q[N], frt, tal, tot[N];
ll d[N];

inline void add(const int &u, const int &v, const int &w) {
    e[cnt].u = u, e[cnt].v = v, e[cnt].w = w;
    e[cnt].nxt = head[u], head[u] = cnt ++;
}

bool check_ring(int x) {
    inq[x] = true;
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
      if (d[e[i].v] > d[x] + e[i].w) {
          d[e[i].v] = d[x] + e[i].w;
          if (inq[e[i].v] || check_ring(e[i].v))
            return true;
          /*如果 x 找到一个当前在队列里的点 y ，
          也就意味着 y 本身可以更新 x 的最短路，
          而 x 又可以更新 y 的最短路，那么一定是产生了负环！*/
      }
    inq[x] = false;
    return false;
}

bool check(ll x) {
    mset(d, 0x3f); mset(inq, 0);
    d[0] = 0, inq[0] = 1;
    /*注意到本身边权只是减去 x，不必重新建图，直接修改边权即可*/
    for (int i = 1; i <= m; i ++) e[i].w -= x;
    bool res = check_ring(0);
    /*记得要把边权改回来*/
    for (int i = 1; i <= m; i ++) e[i].w += x;
    return res;
}

int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        cnt = 1; mset(head, 0);
        for (int i = 1; i <= m; i ++) {
            int u, v, w;
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            add(u, v, w);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i ++) add(0, i, 0);
        int l = 0, r = 1e9, ans = 0;
        while (l < r) { //二分答案，注意边界
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if (check(mid)) r = mid - 1;
            else l = mid;
        }
        if (l == 0) printf("No Solution\n");
        else if (l >= 1e7) printf("Infinite\n");
        else printf("%d\n", l);
    }
    return 0;
}

End

希望能给您带来帮助。