「数据结构」李超线段树
李超线段树的简单讲解
#0.0 屑在前面
李超线段树 由学军中学队爷李超在省选讲课中提出。
事实上，整体来看并没有什么特别特别的，只是线段树维护的信息特殊化了。
#1.0 概述
#1.1 适用问题
支持动态维护一个平面直角坐标系，支持插入直线/线段，查询与直线 \(x=x_0\) 的直线/线段交点纵坐标最大/最小的直线。
#1.2 大致思想
维护每个区间中，完全通过该区间，且位于最上层长度最长的直线，利用标记永久化思想。
考虑插入一条直线，且处理到了某个区间，那么可能有以下几种情况：
- 当前区间没有被任何一条线段覆盖，直接修改；
- 根据端点值判断新的线段是否完全被原本线段覆盖，直接返回；
- 根据端点值判断新的线段是否完全覆盖原本线段，直接修改，然后返回；
- 通过交点位置与端点值的大小关系判断长度关系，将长的记录，短的递归进入相应子树；
查询时就是标记永久化的思想，将所经过的每一条被记录的线段都拿出来比较即可。
综上，查询的时间复杂度是 \(O(\log n)\).
事实上，对于要插入的线段，我们先将其能覆盖的区间通过线段树划分为 \(O(\log n)\) 个，每个完全覆盖的区间再单独进行上面的操作，上面单独操作时，每次线段长度至少减半，于是最多向下递归 \(O(\log n)\) 层，于是修改总体时间复杂度为 \(O(\log^2n)\).
#2.0 应用
#2.1 板子
由于插入的是直线而不是线段，于是不需要先分段，可以直接进行修改。
#define ll long long
#define db double
const int N = 200010;
const int LMT = 50010;
const int INF = 0x3fffffff;
template <typename T> void read(T &x) {
int f = 1; char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
x *= f;
}
template <typename T> inline T Max(T x, T y) {return x > y ? x : y;}
template <typename T> inline T Min(T x, T y) {return x < y ? x : y;}
struct Node {int ls, rs, val;};
struct Line {
double k, b;
inline Line() {k = b = 0;}
inline Line(double _k, double _b) {k = _k, b = _b;}
inline double val(int x) {return k * x + b;}
} s[N];
struct LCTree {
Node p[N]; int cnt, rt;
inline LCTree() {cnt = rt = 0;}
void build(int &k, int l, int r) {
if (!k) k = ++ cnt; if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1; p[k].val = 0;
build(p[k].ls, l, mid); build(p[k].rs, mid + 1, r);
}
void insert(int k, int l, int r, int id) {
if (!p[k].val) {p[k].val = id; return;}
int mid = l + r >> 1;
db l2 = s[p[k].val].val(l), r2 = s[p[k].val].val(r);
db l1 = s[id].val(l), r1 = s[id].val(r);
if (l1 <= l2 && r1 <= r2) return;
if (l1 > l2 && r1 > r2) {p[k].val = id; return;}
db x = (s[id].b - s[p[k].val].b) / (s[p[k].val].k - s[id].k);
if (l1 > l2) {
if (x > mid) insert(p[k].rs, mid + 1, r, p[k].val), p[k].val = id;
else insert(p[k].ls, l, mid, id);
} else {
if (x > mid) insert(p[k].rs, mid + 1, r, id);
else insert(p[k].ls, l, mid, p[k].val), p[k].val = id;
}
}
double query(int k, int l, int r, int x) {
if (l == r) return s[p[k].val].val(x);
int mid = l + r >> 1; double res = s[p[k].val].val(x);
if (x <= mid) return Max(query(p[k].ls, l, mid, x), res);
else return Max(query(p[k].rs, mid + 1, r, x), res);
}
} t;
int n, lcnt, T; char op[N];
inline void Main() {
scanf("%s", op);
if (op[0] == 'P') {
double k = 0, b = 0; scanf("%lf%lf", &b, &k);
s[++ lcnt] = Line(k, b - k); t.insert(t.rt, 1, LMT, lcnt);
} else {
int x = 0; read(x);
printf("%lld\n", (ll)(t.query(t.rt, 1, LMT, x) / 100.0));
}
}
int main() {t.build(t.rt, 1, LMT); read(T); while (T --) Main(); return 0;}
#2.2 斜率优化
设 \(f_i\) 表示到第 \(i\) 天可以拥有的最大钱数，先写出一个大概的转移方程
其中 \(num_A\) 与 \(num_B\) 分别表示持有的 \(A\) 金卷的数量与 \(B\) 金卷的数量，这两个数由 \(j\) 决定。显然，第 \(j\) 天买入时，能得到的金卷比例是一定的，于是当天买入时拥有的钱数越大越好，也就是 \(f_j\)，应当有
同理可得
于是我们可以写出完整的状态转移方程
于是我们就可以直接将一个决策看作一条斜率为 \(\frac{f_j\cdot R_j}{R_j\cdot a_j+b_j}\)、纵轴截距为 \(\frac{f_j}{R_j\cdot a_j+b_j}\) 的直线，对于 \(i\)，我们要求的就是已有的所有决策直线与 \(x=\frac{a_i}{b_i}\) 交点纵坐标的最大值。于是就可以直接用李超线段树进行维护。
参考文章
-
[1] 李超线段树 - 小蒟蒻yyb
-
[2] 李超线段树 - OI Wiki
