[图论入门]2-SAT 问题
2-SAT 问题的简单讲解
#0.0 前置知识
您需要了解 强连通分量（Strongly Connected Components，SCC） 的相关知识及求 SCC 的 \(\text{Tarjan}\) 算法。
#1.0 什么是 2-SAT 问题？
SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 \(k>2\) 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 \(k=2\) 的情况。
2-SAT，简单的说就是给出 \(n\) 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 \(<a,b>\)，表示 \(a\) 与 \(b\) 矛盾（其中 \(a\) 与 \(b\) 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 \(n\) 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。
#2.0 解决方式
#2.1 搜索
...答案总会出来的...
#2.2 Tarjan SCC 缩点
#2.2.1 建图
这里为了方便叙述，任一变量 \(a\) 仅有两种取值：\(0\) 和 \(1.\)
\(\lor\) 为逻辑或，\(\land\) 为逻辑与，\(\lnot\) 为逻辑非。
我们首先要将题目里的限制条件转化为图。这里我们连的边为有向边，边 \(a\to b\) 表示由 \(a\) 可以推出 \(b\)。这里用点 \(a\) 表示变量 \(a\) 为 \(0\)，点 \(a+N\) 表示变量 \(a\) 为 \(1.\)（\(N\) 表示变量总数）
#2.2.2 判断有无解
建图之后，整张图必然是由一个个 SCC 聚合而成，而在每个 SCC 中，可以由任意一个推出其他的所有。那么，如果 \(a\) 与 \(a+N\) 在同一个 SCC 中，便产生了矛盾，故可以使用 \(\text{Tarjan}\) 求 SCC，然后再判断每个变量的两种情况是否在同一 SCC 内，若是，则无解。
inline void tarjan(int x){
dfn[x] = low[x] = ++ T;
st[++ frt] = x;inst[x] = true;
for (int i = head[x];i;i = e[i].nxt)
if (!dfn[e[i].v]){
tarjan(e[i].v);
low[x] = Min(low[x],low[e[i].v]);
}
else if (inst[e[i].v])
low[x] = Min(low[x],dfn[e[i].v]);
if (dfn[x] == low[x]){
int y;cnt2 ++;
do{
y = st[frt --];
scc[y] = cnt2;
inst[y] = false;
}while (x != y);
}
}
/*在 main() 中*/
for (int i = 1;i <= 2 * n;i ++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1;i <= n;i ++)
if (scc[i] == scc[i + n]){
printf("IMPOSSIBLE");
return 0;
}
#2.2.3 构造解
#2.2.3.1 拓扑排序
首先想到的一种显而易见的构造解的方式是拓扑排序。
我们可以将求完 SCC 的图进行缩点，然后我们注意到，选择一个“有出边的点”会使该边指向的点也必须被选择，而选择一个“零出度的点”则不会造成影响。
所以，这里我们可以进行自底向上的拓扑，而这种操作并不好实现，但与之等价的建反向边，再在新图上进行自顶向下的拓扑则要好实现许多。
在拓扑的过程中，判断当前 SCC 值是否已确定，若没有，则对所在的 SCC 标记为选择，对另一取值的点所在的 SCC 赋标记为不选择。
完成以上任务后，对于每个点的选择情况便已经确定了。
#2.2.3.2 利用 Tarjan SCC 的性质
上面的过程极为麻烦，让我们来用一个更巧妙的方法进行构造。
上面的方法中本身是一次拓扑逆序，而 Tarjan 求 SCC 的过程本质是 DFS，而先被标记的 SCC 在拓扑序中是靠后的，于是本身 Tarjan 求出的 SCC 序就是拓扑逆序，又根据我们上面得到的结论，可以知道，我们应当选取 SCC 序（即拓扑逆序）靠前的取值。
for (int i = 1;i <= n;i ++)
printf("%d ",scc[i] > scc[i + n]);
#2.2.4 限制条件转化为图
为什么要将这个问题放到最后？因为若不懂上面的算法流程与思想就难以理解现在在干什么。
限制条件可以有许多，这里举几个常见的例子：
- \(a \lor b\) 为真
我们连接边 \(a\to b+N\) 以及 \(b\to a+N.\)
- \(a \land b\) 为真
连接边 \(a+N\to b+N\) 以及 \(b+N\to a+N.\)
同时，我们还需要连接 \(a\to a+N\) 以及 \(b\to\ b+N\)，制造矛盾，使当 \(a,b\) 中有一者为 \(0\) 时不能成立。
类似的关系还有很多，这里不一一赘述，但核心是不变的：要不重不漏地相互约束。
#3.0 例题
#3.1 P4782 【模板】2-SAT 问题
按上面所讲进行操作即可。
const int N = 5000010;
const int INF = 0x3fffffff;
struct Edge{
int u,v;
int nxt;
};
Edge e[N];
int n,m,cnt = 1,head[N],scc[N],frt;
int dfn[N],low[N],T,st[N],inst[N],cnt2;
inline int Min(const int &a,const int &b){
return a < b ? a : b;
}
inline void add(const int &u,const int &v){
e[cnt].u = u;
e[cnt].v = v;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt ++;
}
inline void tarjan(int x){
dfn[x] = low[x] = ++ T;
st[++ frt] = x;inst[x] = true;
for (int i = head[x];i;i = e[i].nxt)
if (!dfn[e[i].v]){
tarjan(e[i].v);
low[x] = Min(low[x],low[e[i].v]);
}
else if (inst[e[i].v])
low[x] = Min(low[x],dfn[e[i].v]);
if (dfn[x] == low[x]){
int y;cnt2 ++;
do{
y = st[frt --];
scc[y] = cnt2;
inst[y] = false;
}while (x != y);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1;i <= m;i ++){
int a,b,x,y;
scanf("%d%d%d%d",&a,&x,&b,&y);
add(a + (x ^ 1) * n,b + y * n);
add(b + (y ^ 1) * n,a + x * n);
}
for (int i = 1;i <= 2 * n;i ++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1;i <= n;i ++)
if (scc[i] == scc[i + n]){
printf("IMPOSSIBLE");
return 0;
}
printf("POSSIBLE\n");
for (int i = 1;i <= n;i ++)
printf("%d ",scc[i] > scc[i + n]);
return 0;
}
参考资料
[1] 2-SAT - OI Wiki
[2] 算法竞赛进阶指南. 李煜东. 郑州: 河南电子音像出版社, 2017.10.
[3] 2-SAT问题 - CaptainLi
[4] 【研究总结】2-sat问题 - JarjingX
