[字符串入门]最小表示法
#0.0 前置知识
#0.1 循环同构
当字符串 \(S\) 中存在一个位置 \(i\) 使得
\[S[i\cdots n]+S[1\cdots n-1]=T
\]
则称 \(S\) 与 \(T\) 循环同构。
#0.2 最小表示
字符串 \(S\) 的最小表示为与 \(S\) 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串。
#1.0 朴素算法
思想很简单，我们每次比较 \(i\) 和 \(j\) 开始的循环同构，把当前比较到的位置记作 \(k\)，每次遇到不一样的字符时便把大的跳过，最后剩下的就是最优解。
伪代码如下：
\[\begin{aligned}
&\text{Procedure}\ Brute\_Force(s:string)\\
1.&\ \quad k\gets 0,\ i\gets0,\ j\gets0\\
2.&\ \quad\text{While }k<n\text{ && }i<n\text{ && }j<n\\
3.&\ \quad\qquad\text{do If }s[(i+k)\%n]=s[(j+k)\%n]\\
4.&\ \quad\qquad\qquad\text{then }k\gets k+1\\
5.&\ \quad\qquad\qquad\text{else Begin}\\
6.&\ \quad\qquad\qquad\qquad\text{If }s[(i+k)\%n]>s[(j+k)\%n]\\
7.&\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{then }i\gets i+1\\
8.&\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{else }j\gets j+1\\
9.&\ \quad\qquad\qquad\qquad k\gets 0\\
10.&\ \quad\qquad\qquad\qquad\text{If }i=j\text{ then }i\gets i+1\\
11.&\ \quad\qquad\qquad\text{End}\\
12.&\ \quad\text{End While}\\
13.&\ \quad i\gets\min\{i,j\}\\
\end{aligned}
\]
最后的 \(i\) 就是最小表示的起始位置。上面的做法在随机数据的情况下表现良好，但如同 \(aaaa\cdots ab\) 的数据便可以将上述代码的时间复杂度卡至 \(O(n^2).\)
#2.0 最小表示法
#2.1 算法流程
考虑对于两个字符串 \(A,B\)，如果他们在原字符串 \(S\) 中的起始位置分别为 \(i,j\)，且其前 \(k\) 位相等，即
\[S[i\cdots i+k-1]=S[j\cdots j+k-1]
\]
那么假设 \(S[i+k]>S[j+k]\)，那么，不难发现，对于任意一个起始位置 \(l\) 满足 \(i\leq l\leq i+k\) 的字符串 \(A'\)，一定存在一个对应的 \(B'\) ，起始位置 \(r\) 满足 \(j\leq r\leq j+k\)，\(B'\) 的字典序小于 \(A'\) 的字典序。
所以，我们可以直接跳过 \([i+1,i+k]\) 这一段区间，直接从 \(i+k+1\) 开始新的比较。整个算法与上文朴素算法的唯一区别就在这里，是最关键的一点。
#2.2 代码实现
inline int solve() {
int k = 0, i = 0, j = 1;
while (k < n && i < n && j < n) {
if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) k ++;
else {
if (a[(i + k) % n] < a[(j + k) % n])
j = j + k + 1;
else i = i + k + 1;
k = 0; if (i == j) i ++;
}
}
return Min(i, j);
}
可以证明，上文代码的时间复杂度为 \(O(n).\)
参考资料
[1] 最小表示法 - OI Wiki
