[图论入门]基环树简述
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#1.0 啥是基环树？
首先，严格地讲，基环树不是树，它是一张有 \(n\) 个节点、\(n\) 条边的图。
#1.1 无向图上的基环树
可以将这种有 \(n\) 个节点、\(n\) 条边的无向联通图看做在一棵树上加了一条边，形成了一张恰好包含一个环的图，如下图：
这便是一个无向图上的基环树。
当然，如果不保证联通，那么有 \(n\) 个节点、\(n\) 条边的无向图也有可能是一个基环树森林。
#1.2 有向图上的基环树
#1.2.1 内向树
每个节点以自己为起点的边只有一条。
#1.2.2 外向树
每个节点以自己为终点的边只有一条。
#2.0 基环树的一般处理思路
下面都以无向图为例子。
#2.1 大体方法
看起来基环树似乎比一棵树变得麻烦了许多。
但不要害怕，我们也是有一般方法的：
- 找到唯一的环；
- 对环之外的部分按照若干棵树处理；
- 考虑与环一起计算。
#2.2 找到环
#2.2.1 思路
找到环可以采用 \(\text{DFS}\) 来实现（我不会 \(\text{BFS}\) QwQ）.
以下是本人的口胡做法：
- 从任意一点开始搜索；
- 每次拓展到的点涂为灰色，回溯的点涂为黑色；
- 重复第一、二步，直到通过一条未经过过的边拓展到一个灰色节点；
- 将拓展到的灰色节点涂为红色，函数返回
true； - 将经过的回溯时经过的节点涂为橙色，函数返回
true； - 重复第 5. 步，直到回溯到被涂为红色的节点，函数返回
false，算法结束。
经过以上几步，我们便得到了唯一的环——颜色最显眼的那些！其中红色节点是环的衔接处。
如下图：
注意到，上面的模拟过程中，以节点 \(10\) 为根的子树并没有被遍历，是因为 \(\text{DFS}\) 的实现本身便是一路到底，所以可能并不能遍历整颗基环树。
那么，当我们面对的是一个基环树森林时，便要注意了：如果以节点是否被访问过为标志，那么，标记一整棵基环树有以下几种方法：
- 在环上节点递归前，用另一个 \(\text{DFS}\) 遍历该节点能到达的所有节点，并标记。
- 在对去掉环之后的若干棵子树进行处理时进行另一种标记
tag2[]，判断是否是一棵新的基环树的依据为tag2[]是否被标记。 - 建图时使用并查集。
还有几个要注意的点：
- 判断一个点是否可以被拓展的条件是拓展所经过的边是否已被经过，由于无向图建边是两个方向各建一条边，所以标记时需要成对变换，将这两条边同时标记。
#2.2.2 代码实现
//R[] 存储的是环上的节点
inline bool Get_ring(int x,int from){
if (v[x] == 1){
v[x] = 2;v2[x] = 1;
R[++ tot] = x;
return true;
}
v[x] = 1;int opt = 0;
for (int i = head[x];i != -1;i = e[i].nxt){
if (v_e[i]) continue;
v_e[i] = v_e[i ^ 1] = true;
if (Get_ring(e[i].v,x)){
pre_e[e[i].v] = i;
if (v[x] != 2){
R[++ tot] = x;
v2[x] = 1;
return true;
}
else return false;
}
}
return false;
}
#2.3 剩下的操作
剩下的两步多要视题目而定了，不过一般是一个树形DP（子树不考虑环）加一个线性DP+单调队列优化（在环上，断环为链，复制一遍）
#3.0 例题
#3.1 [IOI2008]Island
不难发现，是让我们求一个基环树森林中所有基环树的直径之和。
那么基环树直径怎么求？三步走。
- 找到链
- 对去掉链后的若干棵子树进行树形DP，求出他们直径中的最大值，同时记录以环上每个点为起点，不经过其他环上节点的最长链的长度
- 在环上线性DP+单调队列优化
const int N = 7002100;
const int INF = 0x3fffffff;
struct Edge{
int u,v,w;
int nxt;
};
Edge e[N << 1];
int head[N],tot,v[N],v_e[N << 1],res;
int p,q,n,pre[N],pre_e[N],R[N << 1],v2[N],f[N];
int deq[N << 1],frt,tal,sum[N << 1],ans;
inline void add(int u,int v,int w){
e[tot].u = u;
e[tot].v = v;
e[tot].w = w;
e[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot ++;
}
inline bool Get_ring(int x,int from){
if (v[x] == 1){
v[x] = 2;v2[x] = 1;
R[++ tot] = x;
return true;
}
v[x] = 1;int opt = 0;
for (int i = head[x];i != -1;i = e[i].nxt){
if (v_e[i]) continue;
v_e[i] = v_e[i ^ 1] = true;
if (Get_ring(e[i].v,x)){
pre_e[e[i].v] = i;
if (v[x] != 2){
R[++ tot] = x;
v2[x] = 1;
return true;
}
else return false;
}
}
return false;
}
inline void dp(int x){
for (int i = head[x];i != -1;i = e[i].nxt){
int y = e[i].v;
if (v2[y]) continue;
v2[y] = true;dp(y);
ans = max(ans,f[x] + f[y] + e[i].w);
f[x] = max(f[x],f[y] + e[i].w);
}
}
signed main(){
mset(head,-1); //memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%lld",&n);
for (int i = 1;i <= n;i ++){
int v,w;
scanf("%lld%lld",&v,&w);
add(i,v,w);add(v,i,w);
}
for (int i = 1;i <= n;i ++){
if (v2[i]) continue;
ans = 0;tot = 0;
frt = 0;tal = -1;
Get_ring(i,0);
for (int i = 1;i <= tot;i ++){
dp(R[i]);R[i + tot] = R[i];
}
for (int i = 1;i <= tot * 2;i ++)
sum[i] = sum[i - 1] + e[pre_e[R[i]]].w;
for (int i = 1;i <= tot * 2;i ++){
while (frt <= tal && i - deq[frt] + 1 > tot) frt ++;
if (frt <= tal) ans = max(ans,f[R[deq[frt]]] + f[R[i]] + sum[i - 1] - sum[deq[frt] - 1]);
while (frt <= tal && f[R[deq[tal]]] - sum[deq[tal] - 1] <= f[R[i]] - sum[i - 1])
tal --;
deq[++ tal] = i;
}
res += ans;
}
cout << res;
return 0;
}
