[数据结构入门]线段树plus+ - 权值线段树
#0.0 前置知识
在学习本文之前，请确保你已学会以下知识：
- 线段树基本操作（区间修改，区间查询）
- 线段树动态开点
- 离散化
若并未学会，建议进入以下相应博文先行学习前置知识
#1.0 某些基本知识
#1.1 啥是权值线段树？有啥区别？
权值线段树，毋庸置疑，还是建立在线段树之上的，只不过维护的东西略有不同
举个例子，有一个数列 \(\{a_i\},(i \leq 10000,a < 10^9)\)，
一般的线段树，结点代表的区间是 \(i\) 的范围，叶结点维护的是 \(a_{i}\) 的值，权值线段树代表的区间则是 \(a_i\) 的范围，叶结点上维护 \(a_i\) 这个数出现的次数（运用了“桶”的思想），做统计用
但是 \(a_i\) 可以很大，\(i\) 却不会很大，所以一般先对数据进行离散化，同时使用动态开点节约空间，再进行统计。
#1.2 权值线段树の结构 & 思想
回到定义上，线段树维护的是某一个数出现的次数，那么，它的结构是这样的：
- 有一个左儿子叶结点 \(P\)，代表的数为 \(a_i\)，它上面记录的是 \(a_i\) 出现的次数，它还有个兄弟结点，维护的是 \(a_i+1\) （注意不是 \(a_{i+1}\)）出现的次数
- \(P\) 的父结点维护的则是 \(a_i\) 和 \(a_i+1\) 出现的次数之和，以此类推
那么，举个例子，我们有下面这个数列：
将他维护成权值线段树便是这样的：
那么，问题来了，我们为什么要维护这样一个区间线段树？
是为了动态地维护区间的某一个数出现的次数，比如求动态第 \(k\) 小值。
#2.0 部分代码实现
#2.1 数据处理
首先，因为权值线段树维护的是值域，而有些值域可能特别大，但数的数量可能不多，我们维护一个数出现的次数，显然只需要这个数相应的大小位置即可，不需要具体数值，那么就需要离散化
scanf("%d",&n); //输入数据
for (int i = 1;i <= n;i ++){
scanf("%lld",&a[i]);
b[i] = a[i]; //copy一份，查值输出可能会用到
}
/*下面是离散化的过程*/
sort(a + 1,a + n + 1); //排序
int size = unique(a + 1,a + n + 1) - a - 1; //去重
for (int i = 1;i <= n;i ++){
lsh[i] = lower_bound(a + 1,a + size + 1,b[i]) - a; //查找对应位置
tmp[lsh[i]] = b[i];
}
#2.2 新插入一个数
当做单点修改，辅以动态开点
inline int create(){ //动态开点
tot ++;
p[tot].ls = p[tot].rs = p[tot].sum = 0;
return tot;
}
inline void change(int k,int l,int r,int x){
p[k].sum ++; //统计次数时，一次只增加一，不需pushup()，其他题目具体分析
if (l == r)
return;
int mid = (l + r) >> 1;
if (mid >= x){
if (!p[k].ls) //不存在就开点
p[k].ls = create();
change(p[k].ls,l,mid,x);
}
else {
if (!p[k].rs) //同上
p[k].rs = create();
change(p[k].rs,mid + 1,r,x);
}
}
#2.3 部分重要查询算法
这里只讲一种利用权值线段树维护的最常见的数据：第 \(k\) 小（大）的数
对于一个结点，我们要找它所代表的范围内第 \(k\) 小的数，一定有以下两种情况
- 左儿子范围内所有数出现次数和大于 \(k\)，说明第 \(k\) 小的数显然在左子树的区间里，那么就在左子树的区间里继续找第 \(k\) 小的数
- 左儿子范围内所有数出现次数和小于 \(k\)，说明第 \(k\) 小的数显然在右子树的区间里，那么就在右子树的区间里继续找第 \(k-sum[lson]\) 小的数
简单思考：为什么在右子树里找第 \(k-sum[lson]\) 小的数？而不是第 \(k\) 小的数？
这个问题留给各位自己思考，可以用画图的方式帮助理解
查询代码实现：
inline int query(int k,int l,int r,int kth){
if (l == r){
return l;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (p[p[k].ls].sum >= kth)
return query(p[k].ls,l,mid,kth);
else
return query(p[k].rs,mid + 1,r,kth - p[p[k].ls].sum);
}
#3.0 例题 P1168 中位数
不难想到，相当于每次在前 \(2\times i+1\) 个数里找到第 \(k+1\) 大的数，符合权值线段树的维护，码就完了
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 0x3fffffff
#define N 100010
#define ll long long
#define mset(l,x) memset(l,x,sizeof(l));
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
struct Node{
int ls,rs;
int sum;
};
Node p[N << 2];
int n,cnt,tot;
ll a[N],lsh[N],b[N],tmp[N];
inline int create(){ //开点
tot ++;
p[tot].ls = p[tot].rs = p[tot].sum = 0;
return tot;
}
inline void change(int k,int l,int r,int x){ //单点更新
p[k].sum ++;
if (l == r)
return;
int mid = (l + r) >> 1;
if (mid >= x){
if (!p[k].ls)
p[k].ls = create();
change(p[k].ls,l,mid,x);
}
else {
if (!p[k].rs)
p[k].rs = create();
change(p[k].rs,mid + 1,r,x);
}
}
inline int query(int k,int l,int r,int kth){ //区间查询
if (l == r){
return l;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (p[p[k].ls].sum >= kth)
return query(p[k].ls,l,mid,kth);
else
return query(p[k].rs,mid + 1,r,kth - p[p[k].ls].sum);
}
int main(){
scanf("%d",&n); //输入
for (int i = 1;i <= n;i ++){
scanf("%lld",&a[i]);
b[i] = a[i];
}
sort(a + 1,a + n + 1); //离散化
int size = unique(a + 1,a + n + 1) - a - 1;
for (int i = 1;i <= n;i ++){
lsh[i] = lower_bound(a + 1,a + size + 1,b[i]) - a;
tmp[lsh[i]] = b[i];
}
cnt = 1;
tot = 0;
int root = create(); //建立根节点
cnt = 0;
for (int i = 1;i <= n;i ++){
change(1,1,100001,lsh[i]); //注意要按输入顺序插入
if (i % 2){ //在序列长度为奇数时
int mid = (i + 1) >> 1; //查询第 k 小的数
printf("%lld\n",tmp[query(1,1,100001,mid)]); //注意要转会原数
}
}
return 0;
}
更新日志及说明
更新
- 初次完成编辑 - \(\mathfrak{2021.2.6}\)
