快速求幂(Quick Exponentiation)
接触ACM没几天,向各路大神求教,听说ACM主要是研究算法,所以便开始了苦逼的算法学习之路。话不多说,RT所示,学习快速求幂。
在头文件<math.h>或是<cmath>中,double pow( double x, double y );函数是用来快速求x^y,于是便从pow函数来说起,以下大体上是pow的函数代码:
- int pow(int x, int n)
- {
- int num = 1;
- while (n != 0){
- num = num *x;
- n = n -1;
- }
- return num;
- }
通过以上程序,2^5 = 2*2*2*2*2的流程中一共进行了4次乘法。试想若是大数2^99999999.......,这样循环的算下来肯定要计算到猴年马月。那么我们有什么办法可以简化我们的幂指运算呢?
分析数据
2^4=2^2 * 2^2;
2^5=2^2 * 2^2 * 2
2^6=2^3 * 2^3
2^7=2^3 * 2^3 * 2
……
x^n = x^(n/2) * x^(n/2) (n为偶数)
x^n = x^(n/2) * x^(n/2) * n (n为奇数)
显然这种算法分析利用分治思想(divide and conquer)。通过这种方式,我们可以根据通项公式写出递归函数求分制幂指运算的函数代码:
- int DC_pow(int x, int n)
- {
- if (n==1) return x;
- if (n==0) return 1;
- else if (n & 1) return DC_pow(x,n/2)*DC_pow(x, n/2)*x; // 对应公式x^(n/2) * x^(n/2) * n
- else return DC_pow(x,n/2)*DC_pow(x, n/2); // 对应公式x^(n/2) * x^(n/2)
- }
由此我们以分治思想,减少了运算量。接下来,我们研究此递归代码的一些细节。对于n/2,我们在二进制位运算中还有其他的处理方式,倘若一个数是二进制数,只要我们将该数右移一位(x>>1),即可对其真值除以2。也许你又会想,DG想表述的是什么意思,即使我把代码中的n/2换成n>>1运算量有没有改变,到底意义何在呢?我们从一个例子引出:
♢问题:请求出3^999=?(问题目的在于感受不同求解方法的复杂程度)
分析:我们先调用最最基本的方式进行求解,即为求:3 * 3 * …… * 3(999个3),这样一共要进行998次乘法运算。这种方法显然是太麻烦,反复的递归,计算机心里定会默念“我靠,坑爹啊!”
接下来,我们使用简单分制思想来做此题,这样就可以大大简少运算次数,使得计算次数仅为9次。但是,如果你也在学习ACM的话,你会懂得递归做法运行速度之慢。即使递归函数通俗易懂,即使写法简单,但是并不推荐。你若不信,我给大家举一个简单的例子:
利用欧几里德算法(辗转相除法)计算两数的gcd(最大公约数)
递归形式:
- int gcd(int a,int b)
- {
- if(a == 0) return b;
- else return b == 0?a:gcd(b,a%b);
- }
非递归形式:
- int gcd(int a,int b)
- {
- int c;
- if(a == 0) return b;
- while(b!=0) c = b,b = a % b,a = c;
- return a;
- }
以上利用相同的思想进行求解a,b的gcd,但是效率有很大偏差,大家可以尝试。
那么,还有什么方法来求解这个问题呢,接下来便是经典的快速求幂法。我们将3^999进行分解,即为: (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3。这时候,我们可以整理出3的指数部分形式:2^9+2^8+2^7+2^6+2^2+2^1+2^0。然后,我们再把999转换成2进制为1111100111,2进制的转换作为指数位置的数。由此,我们同样的利用了分治思想,将指数分成了2的n次方和的形式。配合上右移运算,我们只要将其二进制数与1做与运算,为真则将此位上的2^n次方加入,为假则不加入。下面放出代码:
- int spow(int x, int n)
- {
- int result = 1;
- while (n > 0)
- {
- if (n & 1) result *= x;
- x *= x;
- n >>= 1; //n=n/2
- }
- return result;
- }
以上便是全部内容,第一次发文,多有错误。多多包含。
学习本块知识参考过的博文:
http://blog.csdn.net/zhizichina/article/details/7573342
http://blog.csdn.net/hkdgjqr/article/details/5381028
关于快速求幂的ACM题集:
HDU1575、HDU1852、HDU2817、HDU2035.