BZOJ-3398 [Usaco2009 Feb]Bullcow 牡牛和牝牛(计数)

题目描述

  有 \(n(1\leq n\leq 10^5)\) 头牛，可以是公牛也可以是母牛。牛要站成一排，任意两头公牛之间至少要有 \(k(0\leq k<n)\) 头公牛，求方案数。

分析

  考虑放 \(i(i\geq 1)\) 头公牛，则至少需要 \((i-1)\times k\) 头母牛，从牛的总数中减去至少需要的母牛的数量，则剩下的 $n-(i-1)\times k $ 头牛可以任意选择 \(i\) 头为公牛，方案数为 \(\dbinom{n-(i-1)\times k}{i}\)，总方案数为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dbinom{n-(i-1)\times k}{i}\)。

  如果一头公牛的都没有，则答案还需要再加 \(1\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
const int mod=5000011;
long long fac[N+10],inv[N+10];
long long quick_pow(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    if(m>n)
        return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void init()
{
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[N]=quick_pow(fac[N],mod-2);
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+C(n-(i-1)*k,i))%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}