BZOJ-3884 上帝与集合的正确用法(欧拉降幂)

题目描述

  求：

\[2^{2^{2^{2\cdots}}} \]

  无限个 \(2\) 对 \(p\) 取模后的值。

  数据范围：\(T\leq 1000,p\leq 10^7\)。

分析

  根据扩展欧拉定理，当 \(b\geq \varphi(p)\) 时：

\[a^b\equiv a^{b\mod{\varphi(p)+\varphi(p)}}\pmod{p} \]

  指数变成了和原问题同样的形式，可以递归处理。

  可以发现除了第一次之外，模数都是偶数，所以每次递归模数都会至少除以 \(2\)。因此在不超过 \(O(\log p)\) 次递归之后，模数就会变成 \(1\)，此时递归结束，回溯并计算结果即可。

  如果用线性筛计算欧拉函数，时间复杂度为 \(O(p+T\log_2 p)\)；如果每次 \(O(\sqrt{p})\) 计算欧拉函数，时间复杂度 \(O(T\log_2 p\sqrt{p})\)，显然选择后者。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long quick_pow(long long a,long long b,long long p)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
long long phi(long long n)
{
    long long ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
long long solve(long long p)
{
    if(p==1)
        return 0;
    return quick_pow(2,solve(phi(p))+phi(p),p);
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        long long p;
        scanf("%lld",&p);
        printf("%lld\n",solve(p));
    }
    return 0;
}