BZOJ-1002 [FJOI2007]轮状病毒(Matrix-Tree定理+大数)

题目描述

  轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个 \(n\) 轮状基由圆环上 \(n\) 个不同的基原子和圆心处一个核原子构成的，\(2\) 个原子之间的边表示这 \(2\) 个原子之间的信息通道。如下图所示：

  \(n\) 轮状病毒的产生规律是在一个 \(n\) 轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有 \(16\) 个不同的 \(3\) 轮状病毒，如下图所示：

  求有多少个不同的 \(n(1\leq n\leq 100)\) 轮状病毒。

分析

  用矩阵树定理求出基尔霍夫矩阵后高斯消元求答案。

  度数矩阵 \(D(G)\) 为：

\[D(G)=\begin{bmatrix}n&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&3&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&0&3&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&0&\cdots&3&0&0&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&3&0&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&3\\\end{bmatrix}\ \]

  邻接矩阵为 \(A(G)\) 为：

\[A(G)=\begin{bmatrix}0&1&1&1&1&\cdots&1&1&1&1\\1&0&1&0&0&\cdots&0&0&0&1\\1&1&0&1&0&\cdots&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&\cdots&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&0&0&0&0&\cdots&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&\cdots&1&0&1&0\\1&0&0&0&0&\cdots&0&1&0&1\\1&1&0&0&0&\cdots&0&0&1&0\\\end{bmatrix} \]

  基尔霍夫矩阵 \(L(G)\) 为：

\[L(G)=D(G)-A(G)=K=\begin{bmatrix}n&-1&-1&-1&-1&\cdots&-1&-1&-1&-1\\-1&3&-1&0&0&\cdots&0&0&0&-1\\-1&-1&3&-1&0&\cdots&0&0&0&0\\-1&0&-1&3&-1&\cdots&0&0&0&0\\-1&0&0&-1&3&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\-1&0&0&0&0&\cdots&3&-1&0&0\\-1&0&0&0&0&\cdots&-1&3&-1&0\\-1&0&0&0&0&\cdots&0&-1&3&-1\\-1&-1&0&0&0&\cdots&0&0&-1&3\\\end{bmatrix} \]

代码

n=int(input());
a=[[0]*110 for i in range(110)];
if n<=1:
    print(1);
    exit();
elif n==2:
    print(5);
    exit();
for i in range(1,n+1):
    a[i][i]=3;
    a[i][1]=a[1][i]=-1;
    a[i][i+1]=a[i+1][i]=-1;
a[1][1]=n;
ans=1;
for i in range(1,n+1):
    for j in range(i+1,n+1):
        x,y=i,j;
        while(a[y][i]!=0):
            t=a[x][i]/a[y][i];
            for k in range(i,n+1):
                a[x][k]-=t*a[y][k];
            x,y=y,x;
        if a[i][i]==0:
            for k in range(i,n+1):
                a[i][k],a[j][k]=a[j][k],a[i][k];
for i in range(1,n+1):
    ans*=a[i][i];
if ans<0:
    ans=-ans
print('%d' %ans);