高概作业05

合集 - 概率论基础(6)

1.概率论中的收敛2024-03-222.特征函数2024-03-27

3.高概作业052024-10-12

4.几乎处处收敛和依测度收敛2024-10-095.高等概率论2024-09-306.概率论作业32024-09-27

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作业 4：数据科学中的概率论

题目 1（引自 \cite[Ex. 5.10.17]{R14}）

假设 $F$ 和 $G$ 是两个分布函数，在区间 $(a, b)$ 上没有共同的不连续点。证明：

$$\int_{(a, b]} G(x) F(dx) = F(b) G(b) - F(a) G(a) - \int_{(a, b]} F(x) G(dx).$$

如果 $F$ 和 $G$ 有共同的不连续点，则该公式可能会失效。如果 $F$ 和 $G$ 是绝对连续的，且密度函数分别为 $f$ 和 $g$，尝试通过对积分上限进行微分来证明该公式。（为什么可以微分？）

证明

待补充。

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题目 2（引自 \cite[Ex. 5.10.22]{R14}）

(a) 设 $X$ 是一个正随机变量，应用 Fubini 定理于 $\sigma$-有限测度，证明：

$$E(X) = \int_{[0, \infty)} P(X > t) dt.$$

(b) 检查对于任意 $\alpha > 0$，是否成立：

$$E(X^\alpha) = \alpha \int_{[0, \infty)} x^{\alpha - 1} P(X > x) dx.$$

(c) 如果 $X \geq 0$ 且存在某个 $\delta > 0$ 和 $0 < \beta < 1$ 使得：

$$P(X > n\delta) \leq (const) \beta^n,$$

那么 $E(X^\alpha) < \infty$，对于 $\alpha > 0$。

(d) 如果 $X \geq 0$ 且存在某个 $\delta > 0$ 使得 $E(X^\delta) < \infty$，那么：

$$\lim_{x \to \infty} x^\delta P(X > x) = 0.$$

(e) 设 $X \geq 0$ 的分布为重尾分布，且满足：

$$P(X > x) = \frac{const}{x \log x}, \quad x \geq 17.$$

证明 $E(X) = \infty$，但 $x P(X > x) \to 0$ 当 $x \to \infty$ 时。

(f) 如果 $E(X^2) < \infty$，则对于任意 $\eta > 0$，

$$\lim_{x \to \infty} x P(|X| > \eta \sqrt{x}) = 0.$$

证明

待补充。

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题目 3（引自 \cite[Ex. 5.10.24]{R14}）

设 $X_1, X_2$ 是独立同分布的随机变量，且服从 $N(0, 1)$ 正态分布。定义

$$Y_n = \frac{X_1}{\frac{1}{n} + |X_2|}.$$

应用 Fubini 定理验证：

$$E(Y_n) = 0.$$

注意，当 $n \to \infty$ 时，

$$Y_n \to Y := \frac{X_1}{|X_2|}$$

并且 $Y$ 的期望不存在，因此这是一个随机变量收敛但均值不收敛的例子。

证明

待补充。

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题目 4（引自 \cite[Ex. 5.10.25]{R14}）

在期望不一定存在的情况下，以下是一种定义中心值的建议。假设 $F(x)$ 是一个严格递增且连续的分布函数。例如，$F$ 可以是标准正态分布函数。定义

$$g : \mathbb{R} \mapsto (-1, 1)$$

为

$$g(x) = 2(F(x) - \frac{1}{2}).$$

对于随机变量 $X$，定义 $\phi : \mathbb{R} \mapsto (-1, 1)$ 为：

\begin{equation}
\phi(y) = E(g(X - y)). \tag{$*$}
\end{equation}

随机变量 $X$ 相对于 $g$ 的中心值，记为 $\gamma(X)$，定义为满足

$$\phi(y) = 0$$

的解。

(a) 证明 $\phi(y)$ 是 $y$ 的连续函数。

(b) 证明：

$$\lim_{y \to \infty} \phi(y) = -1,$$

$$\lim_{y \to -\infty} \phi(y) = 1.$$

(c) 证明 $\phi(y)$ 是非增函数。

(d) 证明 $\gamma(X)$，即 $\phi(y) = 0$ 的解，是唯一的。

证明 $\gamma(X)$ 具有期望的一些性质，即：

(e) 对于任意 $c \in \mathbb{R}$，

$$\gamma(X + c) = \gamma(X) + c.$$

(f) 现在假设 $(*)$ 中的 $g$ 为 $g : \mathbb{R} \mapsto (-\pi/2, \pi/2)$，定义为：

$$g(x) := \arctan(x),$$

因此 $g(-x) = -g(x)$。证明：

$$\gamma(-X) = -\gamma(X).$$

证明

待补充。

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参考文献

1. Resnick, Sidney I. A Probability Path. 1st ed., Birkhäuser Boston, MA, 2013. Modern Birkhäuser Classics, Springer Science, Business Media New York, 2014. Print.
2. Klenke A. Probability Theory: A Comprehensive Course. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2020.