似然

合集 - 统计模型与推断(5)

1.统计模型与推断II 课程202-192.统计模型与推断II-notes302-263.统计作业12024-09-21

4.似然2024-10-10

5.统计模型与推断II-notes403-03

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似然

1. 问题背景：

   • 我们观察到随机变量 $Y$ 的值 $y$，而 $Y$ 的概率密度函数 $f(y; \theta)$ 已知，但依赖于参数 $\theta$。
   • 参数 $\theta$ 来自参数空间 $\Theta$，观测数据来自样本空间 $\mathcal{Y}$。
   • 目标是根据观测数据 $y$，推断参数 $\theta$ 的可能取值范围。

2. 似然函数的定义：

   • 似然函数 $L(\theta)$ 表示给定数据 $y$ 时，参数 $\theta$ 的可能性大小，定义为：
     $$L(\theta) = f(y; \theta), \quad \theta \in \Theta$$

   • 似然函数反映了接近生成数据的 $\theta$ 值会使 $L(\theta)$ 较大。

3. 离散和连续情况：

   • 当 $Y$ 是离散的，$f(y; \theta)$ 表示 $Y=y$ 的概率。
   • 当 $Y$ 是连续的，$f(y; \theta)$ 表示概率密度函数。

4. 独立观测的似然函数：

   • 当 $y$ 是 $n$ 个独立观测值的集合 $y = (y_1, \dots, y_n)$ 时，似然函数为：
     $$L(\theta) = \prod_{j=1}^{n} f(y_j; \theta)$$

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例 4.1（泊松分布）

假设 $y$ 是来自泊松密度 (2.6) 的一个观测值。此处数据和参数都是标量，并且：

$$L(\theta) = \frac{\theta^y e^{-\theta}}{y!}$$

参数空间是 $\{\theta : \theta > 0\}$，样本空间是 $\{0, 1, 2, \dots\}$。如果 $y = 0$，$L(\theta)$ 是 $\theta$ 的单调递减函数；如果 $y > 0$，$L(\theta)$ 在 $\theta = y$ 处达到最大值，并且在 $\theta$ 趋近于零或无穷大时极限值为零。

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图 4.1

该图展示了在 950 N/mm² 应力下的弹簧失效数据的似然函数。左上角面板是指数模型的似然函数，下方是韦伯模型的似然函数的透视图。右上角面板显示了韦伯模型的对数似然函数等高线图；通过设定 $\alpha = 1$ 来获得指数模型的似然函数，即沿着垂直虚线切割 $L$。右下角面板显示了 $\alpha$ 的轮廓对数似然函数，对应于沿上方面板中虚线的对数似然值，对应绘制于 $\alpha$。

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例 4.2（指数分布）

设 $y$ 是来自指数密度 $f(y; \theta) = \theta^{-1} e^{-y/\theta}$ 的随机样本 $y_1, \dots, y_n$，其中 $y > 0, \theta > 0$。参数空间为 $\Theta = \mathbb{R}_+$，样本空间是笛卡尔积 $\mathbb{R}_+^n$。这里 (4.2) 给出：

$$L(\theta) = \prod_{j=1}^{n} \theta^{-1} e^{-y_j/\theta} = \theta^{-n} \exp \left( -\frac{1}{\theta} \sum_{j=1}^{n} y_j \right), \quad \theta > 0.$$

在例 1.2 中，在应力 950 N/mm² 下弹簧失效时间为：225, 171, 198, 189, 189, 135, 162, 135, 117, 162，图 4.1 的左上角面板显示了似然函数 (4.3)。该函数是单峰的，在 $\theta \doteq 168$ 处达到最大值；$L(168) \doteq 2.49 \times 10^{-27}$。在 $\theta = 150$ 时，$L(\theta)$ 等于 $2.32 \times 10^{-27}$，所以 150 作为解释数据的可能性是 $2.32/2.49 = 0.93$ 倍于 $\theta = 168$ 的可能性。如果我们声明对于 $L(\theta) > c L(168)$ 为“合理的” $\theta$ 的取值，那么当 $c = \frac{1}{2}$ 时，$\theta$ 在 (120, 260) 范围内是合理的。

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例 4.3（柯西分布）

以 $\theta$ 为中心的柯西密度为 $f(y; \theta) = [\pi \{1 + (y - \theta)^2\}]^{-1}$，其中 $y \in \mathbb{R}$ 且 $\theta \in \mathbb{R}$。因此随机样本 $y_1, \dots, y_n$ 的似然函数为：

$$L(\theta) = \prod_{j=1}^{n} \frac{1}{\pi \{1 + (y_j - \theta)^2\}}, \quad -\infty < \theta < \infty.$$

样本空间是 $\mathbb{R}^n$，参数空间是 $\mathbb{R}$。图 4.2 的左面板显示了例 4.2 的弹簧数据的 $L(\theta)$。在 $\theta$ 的范围内似然函数有三个局部极大值，其中全局极大值为 $\theta \doteq 162$。右面板显示了对数似然函数 $\log L(\theta)$ 的更多细节。图中至少有四个局部极大值——显然每个观测值都有一个，尤其是在观测值重复时。与前例相比，对于某些 $c$ 值，$\theta$ 的“合理”集合由不相交区间组成。

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例 4.4（韦伯分布）

韦伯密度为：

$$f(y; \theta, \alpha) = \frac{\alpha}{\theta} \left( \frac{y}{\theta} \right)^{\alpha-1} \exp \left\{ -\left( \frac{y}{\theta} \right)^\alpha \right\}, \quad y > 0, \theta, \alpha > 0. \tag{4.4}$$

当 $\alpha = 1$ 时，这是例 4.2 中的指数密度；指数模型嵌套在韦伯模型中，参数空间是 $\mathbb{R}_+^2$，样本空间是 $\mathbb{R}_+^n$。来自 (4.4) 的随机样本 $y = (y_1, \dots, y_n)$ 的联合密度为：

$$f(y; \theta, \alpha) = \prod_{j=1}^{n} f(y_j; \theta, \alpha) = \prod_{j=1}^{n} \left[ \frac{\alpha}{\theta} \left( \frac{y_j}{\theta} \right)^{\alpha-1} \exp \left\{ -\left( \frac{y_j}{\theta} \right)^\alpha \right\} \right]$$

因此似然函数为：

$$L(\theta, \alpha) = \frac{\alpha^n}{\theta^{n\alpha}} \left( \prod_{j=1}^{n} y_j \right)^{\alpha-1} \exp \left\{ -\sum_{j=1}^{n} \left( \frac{y_j}{\theta} \right)^\alpha \right\}, \quad \theta, \alpha > 0. \tag{4.5}$$

图 4.1 的左下角面板显示了例 4.2 数据的 $L(\theta, \alpha)$。似然函数在 $\theta \doteq 181$ 且 $\alpha \doteq 6$ 时达到最大值，$L(181, 6)$ 等于 $6.7 \times 10^{-22}$。这比指数模型的最大值大 $2.7 \times 10^5$ 倍。右上面板显示了对数似然函数 $\log L(\theta, \alpha)$ 的等高线图，虚线对应于 $\alpha = 1$ 时获得的指数密度。因子 $2.5 \times 10^5$ 给出了最大对数似然值之间的差异 $\log(2.7 \times 10^5) = 12.5$。这一显著提高表明韦伯模型更好地拟合了数据。然而，如果通过最大似然值判断模型拟合，韦伯模型至少和指数模型拟合得一样好，因为 $\max_{\theta, \alpha} L(\theta, \alpha) \geq \max_{\theta} L(\theta, 1)$，且只有当最大值发生在 $\alpha = 1$ 线上时才会相等。

依赖数据

在上面的例子中，假设数据是独立的，虽然不一定是同分布的。在更复杂的问题中，数据的依赖结构可能非常复杂，使得很难明确写出 $f(y; \theta)$。如果数据是按时间顺序记录的，例如 $y_1$ 先于 $y_2$，$y_2$ 先于 $y_3$，...... 那么可以帮助写成：

$$f(y; \theta) = f(y_1, \dots, y_n; \theta) = f(y_1; \theta) \prod_{j=2}^{n} f(y_j \mid y_1, \dots, y_{j-1}; \theta). \tag{4.7}$$

例如，如果数据来自马尔科夫过程，(4.7) 式变为：

$$f(y; \theta) = f(y_1; \theta) \prod_{j=2}^{n} f(y_j \mid y_{j-1}; \theta), \tag{4.8}$$

我们使用了马尔科夫性质，即在给定“现在”$Y_{j-1}$ 时，“未来”$Y_j, Y_{j+1}, \dots$ 与“过去”$Y_{j-3}, Y_{j-2}$ 相互独立。

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例 4.6（泊松出生过程）

假设 $Y_0, \dots, Y_n$ 满足：给定 $Y_j = y_j$，$Y_{j+1}$ 的条件密度是均值为 $\theta y_j$ 的泊松分布，即：

$$f(y_{j+1} \mid y_j; \theta) = \frac{(\theta y_j)^{y_{j+1}}}{y_{j+1}!} \exp(-\theta y_j), \quad y_{j+1} = 0, 1, \dots, \quad \theta > 0.$$

如果 $Y_0$ 服从均值为 $\theta$ 的泊松分布，那么数据 $y_0, \dots, y_n$ 的联合密度为：

$$f(y_0; \theta) \prod_{j=1}^{n} f(y_j \mid y_{j-1}; \theta) = \frac{\theta^{y_0}}{y_0!} \exp(-\theta) \prod_{j=0}^{n-1} \frac{(\theta y_j)^{y_{j+1}}}{y_{j+1}!} \exp(-\theta y_j),$$

因此似然函数 (4.8) 等于：

$$L(\theta) = \left( \prod_{j=0}^{n} y_j! \right)^{-1} \exp(s_0 \log \theta - s_1 \theta), \quad \theta > 0,$$

其中 $s_0 = \sum_{j=0}^{n} y_j$ 且 $s_1 = 1 + \sum_{j=0}^{n-1} y_j$。

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4.1.2 基本性质

将似然函数绘制在对数刻度上会很方便。这个刻度在数学上也很方便，我们定义对数似然函数为：

$$\ell(\theta) = \log L(\theta).$$

关于相对似然函数的陈述就变成了关于对数似然函数差异的陈述。当 $y$ 具有独立分量 $y_1, \dots, y_n$ 时，我们可以写成：

$$\ell(\theta) = \sum_{j=1}^{n} \log f(y_j; \theta) = \sum_{j=1}^{n} \ell_j(\theta), \tag{4.9}$$

其中 $\ell_j(\theta) \equiv \ell(\theta; y_j) = \log f(y_j; \theta)$ 是来自第 $j$ 次观测的对数似然函数的贡献。$f$ 和 $\ell$ 的参数颠倒是为了强调我们主要关注 $f$ 作为 $y$ 的函数，以及 $\ell$ 作为 $\theta$ 的函数。

对于两个独立的数据集 $y$ 和 $z$，其似然函数可以结合为：

$$L(\theta; y, z) = f(y; \theta) f(z; \theta) = L(\theta; y) L(\theta; z),$$

这里为了清楚起见，数据是似然函数中的一个附加参数。

似然函数的重要性质

似然函数的一个重要性质是它对已知的数据变换具有不变性。假设两个观察者进行了相同的实验，其中一个记录了连续随机变量 $Y$ 的值 $y$，而另一个记录了 $Z$ 的值 $z$，其中 $Z$ 是 $Y$ 的已知一对一变换。那么 $Z$ 的概率密度函数为：

$$f_Z(z; \theta) = f_Y(y; \theta) \left| \frac{dy}{dz} \right|, \tag{4.10}$$

这里 $y$ 被看作 $z$ 的函数，$\left| \frac{dy}{dz} \right|$ 是从 $Y$ 到 $Z$ 的变换的雅可比行列式。由于 (4.10) 与 (4.1) 只相差一个不依赖于参数的常数，因此基于 $z$ 的对数似然等于基于 $y$ 的对数似然加上一个常数：不同 $\theta$ 值的相对似然函数保持不变。这意味着对于某个特定模型 $f$，似然函数的绝对值与推断 $\theta$ 无关。当似然函数的最大值是有限值时，我们定义 $\theta$ 的相对似然为：

$$RL(\theta) = \frac{L(\theta)}{\max_{\theta'} L(\theta')}.$$

其取值介于 0 和 1 之间，对数取值介于负无穷大和 0 之间。由于 $L(\theta)$ 的绝对值对于推断 $\theta$ 并不重要，我们可以忽略常数，选择任何版本的 $L$。从此以后，我们使用符号 $\equiv$ 表示在定义对数似然时忽略常数。然而，如果我们的目标是比较来自不同分布族的模型，那么不能忽略常数。

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例 4.7（弹簧失效数据）

我们可以通过最大似然值比较例 4.2-4.4 中柯西和韦伯模型的数据。在此标准下，最大对数似然值约为 $-48$ 的韦伯模型比最大对数似然值约为 $-66$ 的柯西模型要好得多。显然，将常数添加到其中一个模型而不是另一个模型是没有意义的。

假设 $Y$ 的分布由 $\psi$ 决定，$\psi$ 是 $\theta$ 的一对一变换，因此 $\theta = \theta(\psi)$。那么 $\psi$ 的似然函数 $L^*(\psi)$ 与 $\theta$ 的似然函数 $L(\theta)$ 通过表达式 $L^*(\psi) = L(\theta(\psi))$ 相关。由于通过此变换，$L$ 的值不变，因此似然函数对一对一重新参数化是不变的。我们可以使用一个具有特定问题直接解释的参数化。

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例 4.8（挑战者号数据）

我们关注在 31°F 时热失效的概率，以原始参数表示为：

$$\psi = \frac{\exp(\beta_0 + 31 \beta_1)}{1 + \exp(\beta_0 + 31 \beta_1)}.$$

如果我们将 $L$ 重新参数化为 $\psi$ 和 $\lambda = \beta_1$，则有：

$$\beta_0(\psi, \lambda) = \log \frac{\psi}{1 - \psi} - 31 \lambda, \quad L^*(\psi, \lambda) = L(\beta_0(\psi, \lambda), \lambda).$$

图 4.3 右面板中的对数似然图 $\ell^*(\psi, \lambda)$ 比左面板中的 $\ell(\beta_0, \beta_1)$ 更易于解释，因为 $\psi$ 的可能范围变化较慢。左面板中的等高线看起来大致呈椭圆形，而右面板中的等高线则不是。对于 $\psi$ 的最可能范围是 (0.7, 0.9)，其中 $\lambda$ 的值约为 $-0.1$。

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解释

当对于一组数据有一个特定的参数模型时，似然函数为评估不同参数值的合理性提供了一个自然的基础，但如何解释呢？一种观点是可以使用以下量表比较 $\theta$ 的值：

$$1 \geq RL(\theta) > \frac{1}{3}, \quad \theta \text{ 强烈支持},$$

$$\frac{1}{3} \geq RL(\theta) > \frac{1}{10}, \quad \theta \text{ 支持},$$

$$\frac{1}{10} \geq RL(\theta) > \frac{1}{100}, \quad \theta \text{ 弱支持},$$

$$\frac{1}{100} \geq RL(\theta) > \frac{1}{1000}, \quad \theta \text{ 差支持},$$

$$\frac{1}{1000} \geq RL(\theta) > 0, \quad \theta \text{ 很差支持}. \tag{4.11}$$

在这种纯粹似然的方式下，$\theta$ 的值仅根据相对似然进行比较。像 (4.11) 这样的量表简单且直接可解释，但它存在的缺点是其中的数值 $\frac{1}{3}, \frac{1}{10}$ 等是任意的，并且不考虑 $\theta$ 的维度，因此在实践中这种解释并不是最常见的。我们将在第 4.5 节中讨论似然值的重复抽样校准。

4.2 总结

4.2.1 二次近似

在具有一个或两个参数的问题中，似然函数是可以可视化的。然而，具有几十个参数的模型很常见，有时参数甚至更多，因此我们经常需要对似然函数进行总结。

一个关键思想是，在许多情况下，对数似然函数作为参数的函数大约是二次的。为了说明这一点，图 4.4 左面板显示了从指数分布 $\theta^{-1} \exp(-u/\theta), \theta > 0, u > 0$ 中取样量为 $n = 5, 10, 20, 40, 80$ 的随机样本的对数似然。在每种情况下，样本的平均值为 $\bar{y} = e^{-1}$。面板有两个总体特征。首先，每个对数似然的最大值在 $\theta = e^{-1}$ 处。为了理解为什么这样，注意到公式 (4.3) 意味着：

$$\ell(\theta) = -n \log \theta - \theta^{-1} \sum_{j=1}^{n} y_j = -n \left( \log \theta + \bar{y} / \theta \right),$$

当 $d\ell(\theta)/d\theta = 0$ 时达到最大值，即当 $\theta = \bar{y}$。现在，

$$\frac{d^2 \ell(\theta)}{d\theta^2} = -n \left( -\frac{1}{\theta^2} + \frac{2\bar{y}}{\theta^3} \right),$$

在 $\theta = \bar{y}$ 处取值 $-n/\bar{y}^2$，所以 $\bar{y}$ 给出了 $\ell$ 的唯一最大值。使 $L$ 或等效的 $\ell$ 最大的 $\theta$ 值称为最大似然估计，记作 $\hat{\theta}$。为了后续引用，注意到值 $-n^{-1} d^2 \ell(\theta)/d\theta^2$ 及其导数 $-n^{-1} d^3 \ell(\theta)/d\theta^3$ 在邻域 $\mathcal{N} = \{\theta : |\theta - \hat{\theta}| < \delta\}$ 中是有界的，前提是 $\mathcal{N}$ 不包括 $\theta = 0$。

第二，$\ell$ 在最大值处的曲率随 $n$ 增加而增加，因为 $\ell$ 的二阶导数（度量 $\ell$ 关于 $\theta$ 的曲率）是 $n$ 的线性函数。函数 $-d^2\ell(\theta)/d\theta^2$ 被称为观测信息。在此情况下，其在 $\hat{\theta}$ 处的值为 $n/\bar{y}^2 = n/\hat{\theta}^2$。

图 4.4 的右面板显示了与左面板对应的相对似然。增加 $n$ 的效果是似然函数变得更加集中在最大值附近，因此 $\theta$ 距离 $\hat{\theta}$ 的固定值变得越来越不可能生成数据。为了代数地表示这一点，我们写出对数相对似然 $\log RL(\theta)$，作为 $\ell(\theta) - \ell(\hat{\theta})$ 并在 $\hat{\theta}$ 附近对 $\ell(\theta)$ 进行泰勒展开得到：

$$\log RL(\theta) = \ell(\hat{\theta}) + (\theta - \hat{\theta}) \ell'(\hat{\theta}) + \frac{1}{2} (\theta - \hat{\theta})^2 \ell''(\theta_1) - \ell(\hat{\theta}) = \frac{1}{2} (\theta - \hat{\theta})^2 \ell''(\theta_1), \tag{4.12}$$

其中 $\theta_1$ 介于 $\theta$ 和 $\hat{\theta}$ 之间。我们用导数符号表示对 $\theta$ 的求导，因此 $\ell'(\theta) = d\ell(\theta)/d\theta$，等等。注意到 $\ell'(\hat{\theta}) = 0$。$\ell$ 的每个导数都是 $n$ 项的和。随着 $n$ 的增加，我们看到 $-n^{-1} \ell''(\theta_1)$ 的界意味着 (4.12) 中的表达式除非在 $\theta = \hat{\theta}$ 处，否则将变得越来越负。因此 $RL(\theta)$ 趋向于 0，对于所有 $n$，$RL(\hat{\theta}) = 1$。

为了更仔细地检查对数似然的行为，我们在 (4.12) 的泰勒展开式中取另一个项，得到：

$$\log RL(\theta) = \frac{1}{2} (\theta - \hat{\theta})^2 \ell''(\theta_1) + \frac{1}{6} (\theta - \hat{\theta})^3 \ell'''(\theta_2),$$

其中 $\theta_2$ 介于 $\theta$ 和 $\hat{\theta}$ 之间。现在考虑当 $\theta = \hat{\theta} + n^{-1/2} \delta$ 时会发生什么。随着 $n$ 增加，这相当于“缩放”到 $\hat{\theta}$ 附近更小的区域。现在：

$$\log RL\left(\hat{\theta} + n^{-1/2} \delta \right) = \frac{1}{2} \delta^2 n^{-1} \ell''(\hat{\theta}) + \frac{1}{6} \delta^3 n^{-3/2} \ell'''(\theta_2), \tag{4.13}$$

并且，关键在于 $\ell''(\theta)$ 和 $\ell'''(\theta)$ 都是 $n$ 的线性函数。$-n^{-1}\ell'''(\theta)$ 的界意味着 (4.13) 右侧的最后一项当 $n \to \infty$ 时消失，但二次项变为 $-\frac{1}{2} \delta^2 \{-n^{-1} \ell''(\hat{\theta})\}$，在此情况下为 $-\frac{1}{2} \delta^2/\bar{y}^2$。因此，在大样本中，最大值附近的似然是二次函数，可以用最大似然估计 $\hat{\theta}$ 和观测信息 $-\ell''(\hat{\theta})$ 来总结。

这一点的一个含义是，如果我们将自己限制在相对于最大似然估计合理的参数值，例如那些满足 $RL(\theta) > c$ 的 $\theta$，则我们发现 $\log RL(\theta) > \log c$。与 (4.13) 进行比较，显示我们的“合理” $\theta$ 的范围随着 $n$ 的增加而减小，其长度大致与 $n^{-1/2}$ 成正比。

讨论的是标量参数，但可扩展到高维，除非用矩阵的二阶导数代替 $d^2\ell/d\theta^2$。

是否有必要对 $\ell$ 进行二次近似取决于问题。对于图 4.2 中的对数似然进行这样的总结可能会产生误导，除非非常接近最大值的情况下需要总结。如果可行，绘制似然函数是合理的。

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4.2.2 充分统计量

在行为良好的问题中，对于大样本，似然可以通过最大似然估计和观测信息来总结，尽管示例 4.3 和 4.9 显示这种方法可能会失败。一种更好的方法是，似然通常仅通过某些数据的低维函数 $s(\mathbf{y})$ 来依赖数据，然后可以用此函数来给出合适的总结。因此在示例 4.2 和 4.9 中，似然分别通过 $(n, \sum y_j)$ 和 $(n, \max y_j)$ 依赖于数据。如果我们相信我们的模型是正确的，我们只需要这些函数来计算任意 $\theta$ 值的似然。这些函数是充分统计量的例子。

假设我们观察到的 $y$ 是由密度为 $f(y; \theta)$ 的分布生成的，并且统计量 $s(\mathbf{y})$ 是 $\mathbf{y}$ 的函数，使得给定 $S = s(Y)$ 时，相应随机变量 $Y$ 的条件密度与 $\theta$ 无关。即

$$f_{Y|S}(y \mid s; \theta) \tag{4.14}$$

不依赖于 $\theta$。那么 $S$ 被称为基于 $Y$ 的 $\theta$ 的充分统计量，或者只是 $\theta$ 的充分统计量。这个想法是，$Y$ 中的任何不在 $S$ 中的信息都由条件密度 (4.14) 给出，如果该条件密度与 $\theta$ 无关，则 $Y$ 中关于 $\theta$ 的信息不多于 $S$。稍后我们会看到 $S$ 并不是唯一的。

定义 (4.14) 难以使用，因为在计算条件密度之前我们必须猜测给定统计量 $S$ 是否是充分的。一个等价且更有用的定义是通过分解准则给出的。该准则表明，对于参数 $\theta$，统计量 $S$ 成为充分统计量的必要和充分条件是，在一族概率密度函数 $f(y; \theta)$ 中，$Y$ 的密度可以表示为

$$f(y; \theta) = g\{s(y); \theta\}h(y). \tag{4.15}$$

因此，$Y$ 的密度分解为 $s(y)$ 和 $\theta$ 的函数 $g$，以及一个不依赖于 $\theta$ 的函数 $h$。

这两个定义的等价性几乎是不言而喻的。首先注意，如果 $S$ 是充分统计量，则 $Y$ 在给定 $S$ 时的条件分布与 $\theta$ 无关，即

$$f_{Y|S}(y \mid s) = \frac{f_{Y,S}(y, s; \theta)}{f_S(s; \theta)} \tag{4.16}$$

与 $\theta$ 无关。但由于 $S$ 是 $Y$ 的函数 $s(Y)$，$S$ 和 $Y$ 的联合密度为零，除非 $S = s(Y)$，因此右侧的分子只是 $f_Y(y; \theta)$。重排 (4.16) 意味着如果 $S$ 是充分的，则 (4.15) 成立，$g(\cdot) = f_S(\cdot)$ 且 $h(\cdot) = f_{Y|S}(\cdot)$。

相反，如果 (4.15) 成立，我们通过对使得 $s(y) = s$ 的 $y$ 的范围求和或积分来找到 $S$ 在 $s$ 处的密度。在离散情况下，

$$f_S(s; \theta) = \sum_{y} g\{s(y); \theta\} h(y) = g\{s; \theta\} \sum h(y),$$

因为求和是在那些使得 $s(y) = s$ 的 $y$ 上。因此，$Y$ 在给定 $S$ 时的条件密度为

$$f_{Y|S}(y; \theta) / f_S(s; \theta) = \frac{g\{s(y); \theta\} h(y)}{g\{s; \theta\} \sum h(y)} = \frac{h(y)}{\sum h(y)},$$

这表明 $S$ 是充分的。