概率论作业3

合集 - 概率论基础(6)

1.概率论中的收敛2024-03-222.特征函数2024-03-273.高概作业052024-10-124.几乎处处收敛和依测度收敛2024-10-095.高等概率论2024-09-30

6.概率论作业32024-09-27

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练习 1 ([1, 练习 3.4.18])

（耦合） 如果 $X$ 和 $Y$ 是定义在 $(\Omega, \mathcal{B})$ 上的随机变量，证明

$$\sup_{A \in \mathcal{B}} |P[X \in A] - P[Y \in A]| \leq P[X \neq Y].$$

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证明：

对于任意事件 $A \in \mathcal{B}$，考虑指示函数 $1_{X \in A}$ 和 $1_{Y \in A}$。注意到对于每个样本点 $\omega \in \Omega$：

$$|1_{X(\omega) \in A} - 1_{Y(\omega) \in A}| \leq 1_{X(\omega) \neq Y(\omega)}.$$

这是因为：

• 如果 $X(\omega) = Y(\omega)$，则 $1_{X(\omega) \in A} = 1_{Y(\omega) \in A}$，因此差的绝对值为零。
• 如果 $X(\omega) \neq Y(\omega)$，则 $|1_{X(\omega) \in A} - 1_{Y(\omega) \in A}| \leq 1$，且 $1_{X(\omega) \neq Y(\omega)} = 1$。

对上述不等式取期望，得到：

$$\begin{align*} |P[X \in A] - P[Y \in A]| &= |E[1_{X \in A}] - E[1_{Y \in A}]| \\ &= |E[1_{X \in A} - 1_{Y \in A}]| \\ &\leq E\left[|1_{X \in A} - 1_{Y \in A}|\right] \\ &\leq E[1_{X \neq Y}] \\ &= P[X \neq Y]. \end{align*}$$

由于上述不等式对任意 $A \in \mathcal{B}$ 都成立，因此：

$$\sup_{A \in \mathcal{B}} |P[X \in A] - P[Y \in A]| \leq P[X \neq Y].$$

证毕。

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练习 2 ([1, 练习 3.4.22])

设 $\{X_n, n \geq 1\}$ 是定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{B}, P)$ 上的随机变量，并定义对应的随机游动为

$$S_0 = 0, \quad S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i, \quad n \geq 1.$$

令 $\tau := \inf \{n > 0 : S_n > 0\}$ 为第一次上升阶梯时间。证明 $\tau$ 是随机变量。假设已知 $\tau(\omega) < \infty$ 对所有 $\omega \in \Omega$ 都成立。证明 $S_{\tau}$ 是随机变量。

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证明：

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练习 3 ([1, 练习 4.6.13])

设 $\{X_n, n \geq 1\}$ 是独立同分布随机变量，且 $P[X_1 = 1] = p = 1 - P[X_1 = 0]$。计算模式 1, 0, 1 无限次出现的概率。
提示： 令

$$A_k = [X_k = 1, X_{k+1} = 0, X_{k+2} = 1]$$

并考虑 $A_1, A_4, A_7, \dots$。

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证明：

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练习 4 ([1, 练习 4.6.14])

在一列独立的伯努利随机变量 $\{X_n, n \geq 1\}$ 中，假设

$$P[X_n = 1] = p = 1 - P[X_n = 0],$$

令 $A_n$ 表示在第 $2^n$ 到第 $2^{n+1}$ 次试验之间发生 $n$ 个连续的 1 的事件。如果 $p \geq 1/2$，则无限多次发生 $A_n$ 的概率为 1。
提示：证明如下形式的结果：

$$P(A_n) \geq 1 - (1 - p^n)^{2^n / 2n} > 1 - e^{-(2p)^n / 2n}.$$

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证明：

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练习 5 ([1, 练习 4.6.19])

给出一个简单的例子，说明两个随机变量在一种概率测度下是独立的，但在另一种概率测度下是相关的。

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证明：

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