统计作业1

合集 - 统计模型与推断(5)

1.统计模型与推断II 课程202-192.统计模型与推断II-notes302-26

3.统计作业12024-09-21

4.似然2024-10-105.统计模型与推断II-notes403-03

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设 $Y$ 有一个连续分布函数 $F$。对于任意的 $\eta$，证明 $X = |Y - \eta|$ 的分布为：

$$G(x) = F(\eta + x) - F(\eta - x), \quad x > 0$$

因此，给出 $F$ 的绝对中位数偏差的定义，用 $F^{-1}$ 和 $G^{-1}$ 来表示。如果 $Y$ 的密度关于原点对称，证明：

$$G(x) = 2 F(x) - 1$$

从而找出拉普拉斯密度（2.5）的绝对中位数偏差。

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设 $X_1, \ldots, X_n$ 和 $Y_1, \ldots, Y_n$ 是来自指数密度函数

$$\lambda e^{-\lambda x}, x > 0$$

和

$$\lambda^{-1} e^{-y/\lambda}, y > 0$$

的独立随机样本，其中 $\lambda > 0$。
如果 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 是样本平均值，证明当 $n \rightarrow \infty$ 时，

$$\overline{X} \overline{Y} \xrightarrow{P} 1$$

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设 $R$ 是一个二项式变量，概率为 $\pi$，分母为 $m$；
其均值和方差分别为

$$m\pi$$

和

$$m\pi(1-\pi)$$

$R$ 的经验逻辑变换为

$$h(R) = \log\left(\frac{R + \frac{1}{2}}{m - R + \frac{1}{2}}\right)$$

证明对于大的 $m$，

$$h(R) \dot{\sim} N\left\{\log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right),\frac{1}{m\pi(1-\pi)}\right\}$$

求

$$\mathrm{E}\left[\log\left\{\frac{R}{m-R}\right\}\right]$$

的确切值。实践中 $\frac{1}{2}$ 是否必要？

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证明一个二项式随机变量 $R$，其分母为 $m$，概率为 $\pi$，具有累积生成函数

$$K(t) = m\log\left(1-\pi+\pi e^{t}\right)$$

找出当 $m\rightarrow\infty$ 且 $\pi\to0$ 时，使得 $m\pi\to\lambda>0$ 的 $K(t)$ 的极限。
证明

$$\operatorname{Pr}(R=r) \rightarrow \frac{\lambda^r}{r!} e^{-\lambda},$$

从而建立 $R$ 在分布上收敛到泊松随机变量。这产生了二项分布的泊松近似，有时称为小数定律。在 $\mathrm{S}$ 语言中进行数值检查，尝试

y <- 0:10; lambda <- 1; m <- 10; p <- lambda/m
round(cbind(y, pbinom(y, size=m, prob=p), ppois(y, lambda)), digits=3)

使用不同的 $m$ 和 $\lambda$ 值。

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设 $Y_1, \ldots, Y_n$ 是来自均值为 $\mu$ 和方差为 $\sigma^2$ 的分布的随机样本。求

$$T = \frac{1}{2 n(n-1)}\sum_{j\neq k}\left(Y_{j}-Y_{k}\right)^2$$

的均值，并通过将 $Y_{j}-Y_{k} = Y_{j}-\overline{Y}-\left(Y_{k}-\overline{Y}\right)$ 展开，证明 $T = S^2$。