coursera—吴恩达Machine Learning笔记（1-3周）
Machine Learning 笔记
笔记主要按照进度记录上课主要内容和部分代码实现，因为我会看一阶段再进行整理，内容会有一定交叉。关于代码部分，一开始我是只为了做作业而写代码的，现在觉得不妨仔细看一遍老师给的代码，把其当作一个技能语言去学习，所以在分享时也会把老师的代码一起放进来。
错误之处欢迎指正，欢迎一起讨论。
l 第一周
首先这门课要求的数学功底比较低，偏向于应用（用吴恩达的话说是如何像木匠大师那样使用工具），属于基础课程，主要讲监督学习和非监督学习，没有涉及算法背后的理论。
监督学习和非监督学习的区别是（我的理解），在你训练的时候有没有告诉数据集对应的真实的y，监督学习是会告诉训练的输入数据应得到的输出是多少的，而非监督学习则是去寻找输入数据背后的结构、规律。典型的监督学习问题如回归和分类。
下面通过比较简单的只有一个变量的线性回归来熟悉一些基本概念，整理如下：
图1-1
介绍完上述概念后，引入损失函数（Cost Function）概念，来显示预测值和实际值之间的偏离。在线性回归中，损失函数表达如下：
图1-2
其中，在只有一个自变量时，。正像上面说的那样，这个损失函数只是在线性回归中的形式，在不同的模型中，损失函数会有不同的形式，而这和接下来要涉及的梯度下降法（Gradient Descent）有关。
特别注意的损失函数和hypothesis的自变量是不一样的，在hypothesis中自变量是x，而损失函数中自变量是。我们只有知道才能求预测值，接着才能算某一个对应的损失函数值，而我们不确定的、最终要求的参数都是。这一层关系一定要明确。
现在来看下我们怎么确定。我们其实最终的愿望是找到使预测值和实际值相差最小的，而这部分体现在损失函数中，我们的目标函数即：
现在我们有两种方法，一个是直接在损失函数两边对求导，直接算出使损失函数取得极值的；另一种方法则是梯度下降法（Gradient Descent），通过迭代来求得合理的。
虽然对梯度下降法背后的原理不理解，但是通过直观的图形还是比较清楚的了解其大概原理（以吴恩达老师上课举的下坡为例）。但是我们需要注意的是，当函数较为复杂时，梯度下降法无法保证找到全局最优解，可能会收敛到局部最优解，即和最初的选择有一定关系。现在我们再来回答上面提到的损失函数有不同形式的问题，因为梯度下降法无法保证找到全局最优解，当损失函数不合适时（局部解很多时），找到的模型的预测效果并不是很好。（这里会涉及到凸优化(convex optimization)的内容）。在线性模型中，我们找到的损失函数是类似碗形状的，是一定会找到全局最优解的。
现在我们来看下在线性回归模型中参数的迭代过程：
图1-3
即（抱歉我没找到求偏导的符号，用delta来代替）：
图1-4
其中表示的是赋值符号，在处已补全为1，这样即使对于偏执项上述公式仍可以满足。表示学习率，是一个我们需要选择的参数，如何进行选择会涉及第二周的内容，放到第二周的内容里。
l 第二周
这周仍然讲线性回归，讲了些在实际应用中注意的技巧，也会有相关的编程作业。
先从feature scaling说起，在实际应用中，常常会对不同取值范围的变量x进行回归。但是当取值范围差异很大时，以二元为例，我们得到的等值线（为了方便，我这样称呼它）会是一个长轴和短轴差别很大（很扁）的椭圆。这样的图形会使得我们迭代的次数增多，而当其为圆形时，迭代次数最少（不是很理解其原理）。
根据上述，在进行回归之前，如果我们对变量（这里注意不是变量）进行标准化处理的话，计算的效率会得到提高。常用的标准方法为：
图2-1
因为之前概率和统计的公式背的比较死，自己理解的只有样本标准差，老师上课提及也可以用极差。
下面谈一下学习率选择的问题。可以画出损失函数和迭代次数的图像来观察学习率选择是否合适，如果学习率选择合适的话，损失函数是随着迭代次数逐渐下降的。
如果选择的学习率过小，那么收敛速度会过慢，迭代次数较多；如果学习率选择的过大的话，损失函数可能会不收敛。可以用上面提到的画迭代-损失函数图像来判断学习率是否选择合适了。
下面讲的内容时多项式回归（polynomial regression），（在开始前一直有个问题，和进行回归会不会有多重共线的问题，一年前学的应用统计学都忘记的差不多了，不敢和胡平老师打招呼了。好吧，我就算是学得很好，我也不会和胡平老师打招呼的）。我们之前讨论的都是线性回归，在生活中我们也会遇到非线性的问题，我们可以增加次方项来提高模型的应用性。我们仍用上述的损失函数和迭代关系计算参数。
因为线代知识和Normal equation或者比较简单，或者我解释不清楚（比如pseudo invert），这里就略过了，下面分享下我写代码的思路。
因为word不好敲代码，我直接复制粘贴代码和注释了。
读入数据数据文件，并进行切片，划分出自变量和因变量。m代表样本数。并画出图像。
图2-2
下面对原来的矩阵X添加（按照我个人的理解，我把其成为创建功能）一个全为1的列向量。并创建一个全为0的初始（注意创建中的[和）的区别），然后调用损失函数。
图2-3
在函数中，我用的是循环语句，可能这样写比较麻烦，比较方便的话可以用矩阵运算构成列向量再元素求和进行实现。
图2-4
定义好损失函数，在给定参数的初始值的情况下，进行迭代过程，调用Gradient Descent函数。
图2-5
这是我定义的梯度下降函数，这里我直接进行列向量元素求和来代替循环语句，注意的是参数中更新是同步的。
图2-6
在原来的figure上画图，并加上标题。
图2-7
画出损失函数的图像，linspace应该是类似np中的mgrid的函数，在指定区间内均匀生成指定个数的数。
图2-8
在这里的画损失函数的立体图的代码没特别，好像是要用到surf函数所以需要对原来的损失函数矩阵进行转置。为图像加上标签，并画出等值线。
图2-9
因为后面的多元练习和这个练习相似，所以就不再贴代码了。
l 第三周
这周主要讲了logistic Regression，讨论的是分类问题。
内容通过一个对肿瘤性质（分类变量）的判断的案例来引入，与前面的不同的是，线性回归的因变量是连续变量，而这次的因变量是分类变量。
如果我们用线性模型来进行回归的话，模型会得到无效的点（即y>1），而且模型会对异常点很敏感（这一点不知道怎么理解）。
之后，我们找到了可以把输出压缩在[0,1]之间的sigmoid函数，即
图3-1
其函数图像为：
图3-2
这样我们就得到了logistic的hypothesis：
图3-3
函数的输出值我们可以看成，即给定和数据x后其标签为1的概率。我们如果以0.5作为threshold，即大于等于0.5，我们认为，反之我们认为为0。当时，我们看到，即，这样我们就可以画出决策边界了（decision boundary）。
知道hypothesis之后，接下来定义损失函数。如果仍按照线性回归的方法，也就是均方误差来定义损失函数的话，我们的到的损失函数将会是非凸的，函数形状如下：
图3-4
正因如此，我们需要找到一个新的、凸的损失函数。找到的损失函数如下（个人感觉这个定义应该是交叉熵）：
图3-5
知道损失函数之后，就可以知道迭代过程了：
图3-6
图3-7
在Octave中可以使用一些advanced optimization，我们只需写出偏导部分公式即可。
在Octave中的使用方法为：
图3-8
图3-9
这个代码我们在之后的练习中还会碰到。上面我们所述的分类都是二分类，当我们要面对多分类问题时，我们应该怎么做呢？老师给出了一个one-versus-all的方法，即把类别简化为1和0（是或者不是某一分类），算出概率，然后以同样的方法计算出其他类别的概率，取最大的概率类别为其预测的类别。
下面会涉及到一个正则的概念。当我们的feature特别多的时候，我们的模型会特别容易过拟合，也就是在训练集时表现很好但是在测试集上预测结果并不理想。
解决过拟合的方法有两个：一个是删除一些特征，减少特征数量；另一个方法是利用正则方法（我的理解是对参数进行一定的惩罚，即不让参数过大）。我们来看一个正则在线性回归中的例子：
图3-10
注意，是从1开始选取的，也就是不对参数进行惩罚。当我们参数（feature）很多的时候，我们可能不清楚对哪个参数进行正则，比较好的方法是对全部参数都进行正则处理。
上面是线性回归正则化后的损失函数，对于logistic回归而言，其正则化后的损失函数为：
图3-11
那么其迭代公式为：
图3-12
注意，不包括0。下面我分享下我作业中的代码。
首先为补全X，生成初始的，并调用损失函数。
图3-13
在编写损失函数代码前，先编写sigmoid函数。我是用矩阵的元素运算写的函数，输出的矩阵或向量只是每个元素经过了sigmoid函数处理。
图3-14
编写损失函数和定义偏导部分。
图3-15
在定义好损失函数和偏导之后，利用前面说到的advanced optimization进行迭代，计算参数。
图3-16
之后调用函数画出decision boundary，
图3-17
在plotDecisionBoundary函数中，先画出数据的散点图，然后，根据特征判断来做图，当特征小于等于（已加0）3时，直接画出决策边界线。
图3-18
当特征个数大于3时，画出等值线。
图3-19
其中mapFeature是第二个案例增加特征时用到的函数。
