线性回归

本文包含的内容有：

• 参数的求解
• 截距项的处理
• 脊回归
• 参数的计算技巧
• 贝叶斯角度的线性回归

引言

线性回归作为一个统计学里最基础的模型，广泛应用在各个场景下：如对房价的预测，销售额的预测。

基础的线性回归模型表达如下：

$$\begin{array}{rl}y& ={\mathrm{w}}^{\mathrm{T}}\mathrm{x}+\epsilon \\ \epsilon & \sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)\end{array}$$

在应用中可以根据实际问题更改误差项$\epsilon$的分布，如为了使模型不易受异常值影响，将高斯分布替换为Laplace分布。

另外线性回归中的线性指的是$\mathrm{w}$，所以即使对变量$\mathrm{x}$施加变换$\mathrm{\Phi }(\mathrm{x})$也不影响模型。

参数的求解

假设误差$\epsilon$服从是高斯分布，先忽略截距项${\mathrm{w}}_0$，对系数$\mathbf{w}$进行求解。

无论是通过MLE的极大似然，还是通过投影的物理意义，都可以得到如下结果：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \hat{\mathbf{w}}=({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{X}{)}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{y}\end{array}$$

除了上述方法也可用对cost function应用梯度下降来做。

截距项的处理

通过对cost function的${\mathrm{w}}_0$求导，可以得到：

$${\mathrm{w}}_0=\overline{\mathrm{y}}-{\overline{\mathrm{x}}}^{\mathrm{T}}\mathrm{w}$$

因此我们在求解${\mathrm{w}}_0$和$\mathbf{w}$时分开进行，将上式代入模型中，得到：

$$y=\overline{y}-{\overline{x}}^T\mathrm{w}+{\mathrm{w}}^{\mathrm{T}}\mathrm{x}$$

可以看出，直线一定经过$(\overline{x},\overline{y})$点，移项后得到：

$$y-\overline{y}={\mathbf{w}}^T(\mathrm{x}-\overline{\mathrm{x}})$$

因此拿到数据后可以先进行归一化处理，这样就可以求解参数$\mathbf{w}$和${\mathrm{w}}_0$。

脊回归

因为极大似然容易导致过拟合，通过施加先验用最大后验估计的方法可以减缓过拟合。脊回归即对参数$\mathbf{w}$施加高斯先验（因为脊回归对参数$\mathbf{w}$施加的是$L_2$正则，其稀疏效果不如施加Laplace先验的$L_1$正则）。通过最大化后验概率，可以得到参数$\mathbf{w}$的计算如下：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \hat{\mathbf{w}}={(\lambda +{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{X})}^{-1}{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{y}\end{array}$$

计算技巧

式(2)和式(1)具有一定的相似性，通过一下变换(2)也可以写为(1)的形式，令：

$$\begin{gathered} \tilde{\mathbf{X}}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{X}/\sigma \\ \sqrt{\mathrm{\Lambda }}\end{array}\right] \\ \tilde{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{y}\mathbf{/}\sigma \\ \mathbf{0}\end{array}\right] \end{gathered}$$

可以发现，

$$\begin{gathered} (\tilde{\mathbf{y}}-\tilde{\mathbf{X}}\mathbf{w}{)}^T(\tilde{\mathbf{y}}-\tilde{\mathbf{X}}\mathbf{w})={\left[\begin{array}{c}\mathbf{y}/\sigma -\mathbf{X}\mathbf{w}/\sigma \\ -\sqrt{\mathrm{\Lambda }}\mathbf{w}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{c}\mathbf{y}/\sigma -\mathbf{X}\mathbf{w}/\sigma \\ -\sqrt{\mathrm{\Lambda }}\mathbf{w}\end{array}\right] \\ =\frac{1}{{\sigma }^2}(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w}{)}^T(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w})+{\mathbf{w}}^T\mathrm{\Lambda }\mathbf{w} \end{gathered}$$

因此

$${\hat{\mathbf{w}}}_{ridge}=({\tilde{\mathbf{X}}}^T\tilde{\mathbf{X}}{)}^{-1}{\tilde{\mathbf{X}}}^T\tilde{\mathbf{y}}$$

通过观察无论是极大似然估计还是最大后验估计，参数的求解式子中均包含求逆的运算，而求逆的运算是很麻烦的，应该尽可能避免。下面对求逆运算进行简化。

当$N\gg D$时，对$\mathbf{X}$进行QR分解，$\mathbf{X}=QR$，其中Q是列向量相互正交的$N\times D$矩阵，R是$D\times D$的上三角矩阵。将其带入至$\mathbf{X}$的求解式中，得到：

$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{w}}& =(R^T{Q}^{T}QR{)}^{-1}{R}^T{Q}^T\mathbf{y}\\ & =R^{-1}{Q}^T\mathbf{y}\end{array}$$

而$R$是一个上三角阵，求逆相对简单，QR分解的计算复杂度是$O(N{D}^2)$。

当$D\gg N$时，对$\mathbf{X}$进行SVD分解，$\mathbf{X}=US{V}^T$。关于SVD部分可以翻阅SVD直观理解。令$Z=US$，带入到求解式子中，得到：

$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{w}}& =(V{Z}^{T}Z{V}^T+\lambda I_D{)}^{-1}V{Z}^T\mathbf{y}\\ & ={[V(Z^{T}Z+\lambda I_N)V^T]}^{-1}V{Z}^T\mathbf{y}\\ & =V{(Z^{T}Z+\lambda I_N)}^{-1}{Z}^T\mathbf{y}\end{array}$$

这样整个的计算复杂度为$O(D{N}^2)$

贝叶斯角度的线性回归

虽然上述方法，例如脊回归中的高斯先验，也用了贝叶斯的思想，但在求解的时候没有求$\mathbf{w}$的分布，只是用了点估计来代替。下面用贝叶斯的方法来求解参数$\mathbf{w}$的分布。

假设已经知道了参数$\mathbf{w}$的先验，$p(\mathbf{w})=\mathcal{N}(\mathbf{w}|{\mathbf{w}}_{\mathbf{0}},{\mathbf{V}}_0)$，而$p(\mathbf{y})=\mathcal{N}(\mathbf{y}|\mathbf{Xw},{\sigma }^2{\mathbf{I}}_N)$，这样利用线性高斯系统的公式就可以得到参数$\mathbf{w}$的后验分布：

$$\begin{array}{rl}p(\mathbf{w})& =\mathcal{N}(\mathbf{w}|{\mathbf{w}}_{\mathbf{N}},{\mathbf{V}}_N)\\ {\mathbf{V}}_N^{-1}& ={\mathbf{V}}_0^{-1}+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{X}}^T\mathbf{X}\\ {\mathbf{w}}_N& ={\mathbf{V}}_N({\mathbf{V}}_0^{-1}{\mathbf{w}}_0+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{X}}^T\mathbf{y})\end{array}$$

如果要对$y$进行预测，则仍可以利用线性高斯系统的公式进行求解。

频率学派反对贝叶斯学派的一个重要观点就是先验的选择依赖主观判断。贝叶斯学派也对此也提出了解决方法，如无信息的先验或者经验贝叶斯。

下面放一个经验贝叶斯的代码，这部分的内容可以再"Machine Learning A Probability Perspective"的第五章、第七章找到。

# using utf-8

"""
所建立的模型为p(y) = N(x'w, 4),采用EB方法估计w
设置w先验为参数是μ，Σ的高斯分布
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Ns = 5 # 观测的样本数
np.random.seed(2)
x = np.random.randn(Ns, 1) * 5  # 观测点x值
error = np.random.randn(Ns, 1)  # 误差
y_train = (x - 4) ** 2 + 2 * error  # y观测值，观测的方差为4
y_true = (x - 4) ** 2  # y真实值

# 先对两个变量的进行设置

# 减去均值忽略掉截距项
x_expand = np.hstack((x, x**2))
x_expand_center = x_expand - x_expand.mean(axis=0)
y_train_center = y_train - y_train.mean(axis=0)
error_var = 4
"""
估计μ和Σ的取值
p(D|μ,Σ) = ∫ p(D|w) p(w|μ,Σ) dw
p(D|w) = N(y_mean|x_mean w,σ**2/N)
p(D|μ,Σ) = N(y_mean|x_mean u, σ**2/N + x_mean Σ x_mean')
x_mean μ = y_mean； μ = (x_mean' x_mean) ** -1 x_mean' y_mean
s ** 2 =  σ**2/N + x_mean Σ x_mean'; Σ = (s ** 2 - σ ** 2 /N)(x_mean' x_mean) ** -1 
"""
mu_prior = (np.linalg.pinv((x_expand_center.T.dot(x_expand_center))).dot(x_expand_center.T)).dot(y_train_center)
U, S, V_h = np.linalg.svd(x_expand_center, full_matrices=False)
V = V_h.T
mu_prior_svd = V.dot(np.diag(1 / S)).dot(U.T).dot(y_train_center)
print("按照伪逆计算的mu_prior", mu_prior)
print("按照SVD计算的mu_prior", mu_prior_svd)
sigma_prior = (y_train_center.var() - error_var) * np.linalg.pinv(x_expand_center.T.dot(x_expand_center))
sigma_prior_svd = (y_train_center.var() - error_var) * V.dot(np.diag(1/S**2)).dot(V.T)
print("按照伪逆计算的sigma_prior", sigma_prior)
print("按照SVD计算的sigma_prior", sigma_prior_svd)
"""
在了解先验μ和Σ后，对参数w进行估计
再利用对高斯线性模型
p(D|w) = N(y_mean| x_mean w, σ ** 2/N) p(w) = N(w|μ,Σ)
w_sigma = (Σ ** -1 + x_mean' (σ ** 2/N)**-1 x_mean) ** -1
w_mu = w_sigma(Σ **-1 μ + x_mean' (σ ** 2/N) ** -1 y_mean)
p(w|D) = N(w|, (σ**2)**-1+x_mean' Σ ** {-1} x_mean)
"""
w_sigma = np.linalg.pinv(np.linalg.pinv(sigma_prior) +
                   1/ error_var * x_expand_center.T.dot(x_expand_center))
w_sigma_svd = V.dot(np.diag(1/S **2)).dot(V.T) * (y_train_center.var() - error_var) * \
              error_var / y_train_center.var()
print("按照伪逆计算的参数协方差后验:", w_sigma)
print("按照svd计算的参数协方差后验:", w_sigma_svd)
w_mu = w_sigma.dot(np.linalg.pinv(sigma_prior).dot(mu_prior) + 1/ error_var * x_expand_center.T.dot(y_train_center))
w_mu_svd = w_sigma_svd.dot(V.dot(np.diag(1/S**2)).dot(V.T).dot(mu_prior_svd) /
                           (y_train_center.var() - error_var) +
                           1 / error_var * x_expand_center.T.dot(y_train_center))
print("按照伪逆计算的参数均值差后验:", w_mu)
print("按照svd计算的参数均值差后验:", w_mu_svd)
w_0 = y_train_center.mean() - x_expand_center.mean(axis=0).dot(w_mu_svd)
y_predict = x_expand.dot(w_mu_svd) + w_0
"""
预测y
p(y|D) ∝ p(w|D)p(y|w)
再次利用高斯线性系统公式得到
p(y|D) = N(y|x w_mu, error_var + x w_wigma x')
"""
x_test = np.linspace(-30, 30, 24)[:, np.newaxis]
x_test_expand = np.hstack((x_test, x_test **2))
y_test = (x_test - 4) ** 2
y_predict_mean = x_test_expand.dot(w_mu_svd) +w_0
y_predict_std = np.sqrt(error_var + np.diag(x_test_expand.dot(w_sigma_svd.dot(x_test_expand.T))))[:, np.newaxis]

figure = plt.figure(1)
plt.plot(x_test.ravel(), y_test.ravel(), label="True")
plt.plot(x_test.ravel(), y_predict_mean.ravel(), label="predict")
plt.fill_between(x_test.ravel(), (y_predict_mean - 2 * y_predict_std).ravel(),
                 (y_predict_mean + 2*y_predict_std).ravel(),  color="gray", alpha=0.2)
plt.scatter(x.ravel(), y_predict.ravel(), color="blue" ,label="train")
plt.legend(loc="best")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("y")
plt.title("EB for linear regression")
plt.show()