【专题】概率期望乱写

概率与期望DP

绿豆蛙的归宿

DAG上求起点到重点的期望路径长度

设 $F[i]$ 表示从$i$到$n$的期望步数

显然$F[n]$为零,转移则为

$F[i]=\sum_{son(j)}{(F[j]+dis_{i,j})/DEG[i]}$

在DAG上做拓扑排序进行转移即可

较为水

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聪聪和可可

老鼠的走法就是随机走一个点或者停留

考虑猫的走法,当鼠猫距离大于二时,猫这一轮一定会走两步,否则这一轮就结束了,猫的走法比较梦幻,所以考虑$N$次$dij$,再$n^2$预处理出来当猫在$A$老鼠在$B$时猫的下一步去哪,时间可以承受

设$F[i][j]$表示当猫在$i$老鼠在$j$时的期望值,因为终止状态有很多,而起点只有一个,发现并不好转移,直接记忆化搜索一发

注意判断特判已经在同一个点的情况

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Easy || OSU!

题意基本相同
记录到$i$次点击连续o的长度期望,分类讨论本次是否comb转移即可

OSU中则是需要分别考虑二次和三次的贡献,分别拿两个数组记录,同样讨论本次是否comb转移

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Red is good

设$F[i][j]$为当前有$i$张红牌$j$张黑牌的期望

当前轮怎么拿牌

显然对于状态$F[i][0]$,我一路拿下去肯定最优,直接就是$F[i][0]=i$

同样的状态$F[0][j]=0$,怎么拿都亏就一张都不拿

对于F[i][j],我们考虑这一轮拿到了什么牌

若拿到红牌,则转移到$F[i-1][j]$,转移到这一状态的概率为$\frac{i}{i+j}$

若拿到黑牌,则转移到$F[i][j-1]$,转移到这一状态的概率为$\frac{j}{i+j}$

那么就有

$$F[i][j]=F[i-1][j]*\frac{i}{i+j}+F[i][j-1]*\frac{j}{i+j}$$

但是题目要求最大值,那么在拿牌过程中,如果我发现我会亏,那我就索性前边的都不要了,从头拿起.即认为前面的牌期望值为0,就相当于F[0][0]

然后我们快乐的发现可以DP了

快乐的发现A了

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守卫者的挑战

设$F[i][j][k]$为当前进行到的场数,之前赢的场数,和当前背包剩余容量分别为$i,j,k$的成功概率

我觉得并不好转移就记搜了
当当前场数为$n+1$时判一下赢场数和剩余容量是否符合要求即可

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单选错位

我们发现第$i$道题有没有贡献只和它与第$i-1$道题的答案是否相同有关,我们只需要相同发生的概率并求和即可,假期望,需要特殊处理一下$1$和$n$

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列队春游

我们单独考虑每个人的贡献,设当前考虑的人为$A$
对于除他以外的人,发现所有不比他低的人一定不能对他作出贡献(我们认为一定有的贡献1是他自己对自己作出的)

那么$A$产生的贡献实际上就是 $A前面连续的比A低的人数*发生的概率$

设队列中一共有$m$个人的身高 ≥ $A$ 的身高(包括$A$)

那么这$m$个人无论如何排列都不会对$A$产生贡献

我们再去考虑剩下的$n-m$个人对$A$的贡献,设人数为$s$

若单独考虑每个人的贡献,因为实际上每个人只能对$A$贡献一个单位长度,当这个能对$A$产生贡献时,无论其他的人如何排列,都不会影响他对$A$产生的贡献,那么我们就考虑这个人什么时候对$A$产生贡献

先排那$m$个人,共有$m!$种方案,这时我们先将$s$中的一个人与$A$绑定,视为一个人,参与这$m$个人的排列,此时我们保证了这个人一定对$A$造成贡献,其他情况一定不会造成贡献

再考虑剩下的$s-1$个人,他们此时不管如何站,都不会再对刚才绑定的那个人的贡献造成任何影响,有$A_n^{s-1}$种站法

至此我们找出了这个人所有可能对$A$作出贡献的方案,实际上所有比$A$低的人贡献都是如此

那么$A$的贡献就是

$$(m!*A_n^{s-1}/n!)*s+1 == s/(n-s+1)+1$$

扫一遍求和即可

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矩形粉刷

我们发现$K$次粉刷间是有前后影响的,即同一个点可能被粉刷多次但是只贡献一次(虽然我开始并没有考虑这个,然后就发现没法处理了)

那么我们单独考虑每个格子的贡献,某个格子有贡献,即其至少被粉刷到了一次,我们发现这玩意并不好算,实际上格子是否被刷是对立事件,那么有

$$格子K次都不被粉刷到的概率+格子K次被粉刷到的概率=1$$

那么我们求出$K$次都不被粉刷的概率就好了,这个显然更好求,即为

$$(格子单次不被粉刷到的概率)^k$$

再考虑这个格子怎么样不会被粉刷到

某次粉刷到的两个格子都在 上上/下下/左左/右右

但是我们发现 $上左/上右/下左/下右$ 的概率被算了两次,那么简单容斥一下,减去重复的即可,格子间是没有相互影响的.

最后用1减去求出的概率即为该格子的贡献,概率值即为期望

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卡牌游戏

留坑以后写

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换教室

实际上就是大分类讨论,我们首先需要预处理出来教室两两间的最短距离,跑一遍$Floyd$哦了

发现前面申请成功的概率会对后面算期望造成影响,且需要限制申请次数

那么设$F[i][j][0/1]$表示当前到第几节课,之前已经申请了多少次,本节课是否申请了的期望值

分类讨论当前是否申请,上一次是否申请了(注意$j$)
同时需要讨论这次申请是不是成功了,以及上一次是否成功了(如果申请),因为成功与不成功的距离是不同的,而且申请是有成功概率的,我们不能默认某一次申请成功

可能说不太明白,可以举例说明但是分类讨论过程太ex了,下次吧(bushi

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奖励关

状压一下

设$f[i][j]$为在第$i$回合达到拥有的宝物状态为$j$的期望分值

我们考虑当前状态中每一位$1$是第一次出现,还是已经出现过(需要注意回合数的限制)
分类讨论即可

好的我们发现这个做法是假的

惊不惊喜,意不意外

这样的转移可能会出现,我们需要的上一阶段的状态可能根本是不可达的,因为有宝物先后关系,那么我们考虑逆推,即从一定可达的状态推到之前的状态

设$F[i][j]$表示当前$i-1$轮所拿到的宝物状态为$j$时,第$i$轮到第$k$轮能获得的最大期望值

那么我们分别考虑第$i$轮会抛出哪个物品,即每次转移都遍历所有物品,若其满足要求,那么有转移式

$$F[i][j]+=max \left(F[i+1][j],F[i+1][j|bit]+P_bit \right), bit=1<<(物品编号-1)$$

即表示当前 $选/不选$

若不满足要求则直接继承$f[i+1][j]$即可,当前阶段选不到,下一个阶段也一定选不到

最后答案即为$F[1][0]$

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概率充电器

一开始没看数据范围以为高消一发就能过,这不嘎嘎切么

既然高斯消元不行,那么我们就树形DP(题目都明示了)

考虑每个原件是如何来电的

他自己来电了 / 他儿子来电了并且通过来了 / 他爹来电了并且通过来了

原件通电的概率是三个事件至少发生一个的概率

那么就不能直接相加,虽然我第一遍交就是直接相加的,还对了几个点

有 事件$A,B$至少发生一件的概率为

$$P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)$$

其实就是简单容斥

设$d[i]$为只考虑儿子传导即自己来电时的概率
$f[i]$为所有情况的概率

第一遍DFS先求出$d$数组,把自己的概率以及每个儿子的概率以此用上边的式子算就行

第二遍DFS考虑加上父亲传导后的概率,显然树根的f和d相同

求$i$点时,将他父亲的$f$除去$i$贡献的部分,再将其视为$i$的儿子贡献给$i$即可

注意判断某个原件的概率是不是超过$1$了,当然如果某个点的$d$已经是$1$了,那么就没必要算了,直接赋$1$接着向下搜即可

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硬币游戏

自己想不出来系列

我们发现这个游戏可能是无穷无尽的,所以状态设定中一定不能包含他在什么位置赢的

那么我们某个人在什么情况下会赢.

假设当前的一个未终止局面为$S$,显然$S$不完全包含任何一个人的序列.
我们考虑两个人的情况,假设有$A=101$,$B=110$

如果局面进行成$S+A$那么此时A一定胜出了,但是可能存在一种情况,也就是局面朝$S+A$方向进行时,中间出现了形如$S'+B$的情况(我们定义S类都是未终止局面),也就是说,在$A$胜出之前,已经有$B$胜出,提前终止了.

设出现未终止局面的概率为$P_0$,如果不考虑提前终止的情况,那么$P_A = \frac{1}{2^m}*P_0$,实际上这样的话,每个人胜出的概率都如此.

那么现在考虑如何把提前终止的概率删去,我们发现两两终止状态之间无包含关系,或者可以理解为对立事件,那么说我们在总概率中减去提前终止的那部分概率,就是我们希望的终止局面的概率.

就考虑提前终止的情况,显然是$A$的前一部分和另外某个人的串恰好接上了,字符串意义上就是$A$的一段前缀与某个人的一段后缀相匹配,若有长度为$k$的串满足,那么提前结束的概率就是$那个人胜出的概率*序列末尾出现那个人的前(m-k)个字符的概率$

这样我们就有$n$个方程组,$n+1$个为止数,what hell?

然后我们就死在了寻找最后一个方程的路上

实际上,当这个游戏无穷尽的进行下去后,一定会有一个人胜出,或者说所有人的胜率和无限趋近于$1$

那么我们就得到最后一个方程了,$\sum_{i=1}^{n} {P_i} =1$

快乐敲一个高消板子欧了

码完之前不看

如果你码完又交了一发发现只有40分
而且后面的点全是零
~~去把这句话注释掉~~
`if(fabs[i][i]<eps)continue`

然后你就A了
为什么?
布吉岛(bushi
我们发现某些系数可能很$小_{小_{小_{小}}}$,
小到$\frac{1}{2^{300}}$,
好了你把所有的都$continue$了,
所以不能特判

那真的有0怎么办

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