ABC264题解

$ABC264$ 题解

$B$

$Problem$

有如下 $15\times 15$ 的矩阵图：

每次询问给定 $r$ 和 $c$，问该矩阵第 $r$ 行第 $c$ 列是什么颜色。

$Scope\ Limitation$

$1\leq r,c\leq 15$

$Solution$

这场的 $D$ 题很简单，但是做 $B$ 和 $C$ 却着实废了一番手脚，想了想决定写一下这个 $B$ 的解法，大家通过的方式应该算得上千奇百怪，但这题的 $r$ 和 $c$ 有可能可以出到比较大的地步。

看似十分简单的一道题目，做起来却有些手足无措，大抵原因是并不知道如何最简单的实现。

开始很想手打，但是觉得作为第二题一定会有很简单的规律，虽然事实也正是如此，可我并没能发现，也许直接手打真的会快很多吧。

后来直接写了个八连通扩张，每次扩张一个回字，暴力跑出这个图，显得很蠢。

事实上，真正的规律是这样的，观察 $max\{|r - 8|,|c-8| \}$ 的奇偶性，就能得出答案。

$E$

$Problem$

有 $n$ 座城市和 $m$ 个发电站，他们通过 $e$ 条边相连。

如果城市 $i$ 和任意一个发电站在同一个连通块中，我们认为城市 $i$ 通电。

给定 $q$ 次询问，每次询问删掉一条边，影响会持续到下一次询问，问每次删除后，图上有多少座城市通电。

$Scope\ Limitation$

$1\leq n, m< n + m\leq 2\times 10 ^5，1\leq Q\leq E\leq 5\times 10 ^ 5$

$Solution$

十分套路的题目，存下询问，倒着加边，并查集维护即可。

$F$

$Problem$

有一个由 $01$ 组成的 $n$ 行 $m$ 列矩阵，可以花费 $r_i$ 的代价将第 $i$ 行的 $01$ 全部翻转，可以花费 $c_i$ 的代价将第 $j$ 列的 $01$ 全部翻转。

从 $(1,1)$ 出发，只能向右或下移动，且当前位置与移动目标的颜色必须相同，问最少花费多少代价，才能到达 $(n,m)$。

$Scope\ Limitation$

$2\leq n, m \leq 2000$

$Solution$

挺容易想到 $dp$ 的。

设状态 $dp[i][j][0/1][0/1]$ 表示从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 且第 $i$ 行与第 $j$ 列是否翻转的最小代价。

一开始没看到只能向右下移动，想了很久，觉得这个状态转移不了，后来手模了一遍样例，才醒悟过来存在这样的限制，那我们的转移就十分简单了。

初始值分别为：

$dp[1][1][0][0] = 0,dp[1][1][1][0] = r_1,dp[1][1][0][1] =c_1,dp[1][1][1][1] = r_1 + c_1$

转移如下：

• $i < n$：设根据 $x$ 和 $y$ 算出 $(i,j)$ 的颜色为 $a$，$(i+1,j)$ 的颜色为 $b$。
  • $a = b$：$dp[i][j][x][y]\rightarrow dp[i + 1][j][0][y]$
  • $a\neq b$：$dp[i][j][x][y] + r_{i + 1}\rightarrow dp[i+1][j][1][y]$
• $j < m$：设根据 $x$ 和 $y$ 算出 $(i,j)$ 的颜色为 $a$，$(i,j+1)$ 的颜色为 $b$。
  • $a = b$：$dp[i][j][x][y]\rightarrow dp[i][j+1][x][0]$
  • $a\neq b$：$dp[i][j][x][y] + c_{j + 1}\rightarrow dp[i][j+1][x][1]$

状态数 $\mathcal O(n^2)$

$G$

$Problem$

给定 $n$ 个条件，每组条件如下：

$T_i$ 是一个由小写字母组成的长度不超过 $3$ 的字符串，$P_i$ 是一个整数。

定义一个字符串 $S$ 的权值如下：

设 $V_i$ 表示 $T_i$ 在 $S$ 中出现的次数乘上 $P_i$，则 $S$ 的权值即为 $\sum_{i=1}^n V_i$

求对于给定的 $n$ 个条件，任意由小写字组成的字符串 $S$ 的最大权值，若为正无穷，输出 $Infinity$

$Scope\ Limitation$

$1\leq N\leq 18278$

$Solution$

设 $P(T)$ 权值如下：

• 若 $T = T_i$，$P(T) = P_i$
• 若 $T$ 不存在任何 $T_i$ 与之相等，则 $P(T) = 0$

设当前 $S = s_1s_2s_3……s_l$，若在末尾加入一个字符 $s'$，则对权值的影响为 $P(s')+P(s_ls')+P(s_{l-1}s_ls')$。

当然，若 $S$ 的长度小于 $2$，则权值变化另算，我们也可以在一开始就往 $S$ 中加入两个小写字母以外的字母，根据上述定义，亦能得到正确的值。

于是我们考虑设置这样一张图，图上的每个节点代表一个由两个字母组成的状态，枚举第三个字母，向另一个状态转移连边，例如状态 $ab$ 向状态 $bc$ 连接一条边权为 $P(c) + P(bc)+P(abc)$ 的边。

设 $w = 26$，则我们的点数是 $\mathcal O(w ^ 2)$，边数是 $\mathcal O(w^3)$，由于需要找正环，跑一边 $SPFA$ 最长路，最劣 $\mathcal O(w^5)$，足以通过此题。

$Ex$

$Problem$

给定一棵大小为 $n$ 的树，根节点为 $1$，节点 $i(i>2)$ 的父亲为 $P_i$。

要求对 $k = 1,2……n$ 分别求出对于节点 $1$ 至 $k$，有多少棵以 $1$ 为根的完美二叉树。

$Scope\ Limitation$

$1\leq n\leq 3\times 10 ^5,1\leq P_i<i$

$Solution$

发现这样一个事实，一定不存在深度大于等于 $20$ 的答案，一棵深度等于 $20$ 的完美二叉树节点的数量为 $2 ^ {20} - 1 > 3\times 10 ^ 5$，故由此结论。

考虑 $dp$，设 $f[i][j]$ 表示以节点 $i$ 为根，深度为 $j$ 的完美二叉树的数量，$g[i][j]$ 表示 $\sum_k^n [p_k = i]f[k][j]$。

那么直接转移即可，每次加入一个点，顺着父亲向根更新。

设当前节点为 $v$，父节点为 $u$，以节点 $v$ 为根深度为 $cir$ 的二叉树有 $res$ 棵。

令 $val = res \times(g[u][cir] - f[v][cir])$，简单来说就是减去老的，用新的和另外的子树匹配。

用 $res$ 更新 $g[u][cir]$ 和 $f[v][cir]$，然后 $res = val$，节点继续向上跳，直到为根。

时间复杂度 $\mathcal O(20n)$。