[GKOI 2021 提高组]抄写
抄写copy
题目大意
对于 \(26\) 个英文字母，每个英文字母对应一个权值，对于任意小写字母 \(ch\) ，我们称抄写它的花费为 \(cost_{ch}\) 。
当然，你有一种节约时间的方法，你可以花费时间 \(c\) ，将之前抄写的字符对称到另一边，即如下两种操作：
-
操作一，在 \(s_m\) 后对称，即使得抄写进度变为 \(s_1s_2……s_ms_ms_{m-1}……s_k,1\leq k \leq m\)
-
操作一，在 \(s_m\) 处对称，即使得抄写进度变为 \(s_1s_2……s_ms_{m-1}……s_k,1\leq k < m\)
现在给你一个长度为 \(n\) 的字符串，问你抄写它的最小花费。
分析
暴力解法
首先，这道题的 \(n^2\) 做法并不难想到，我们设 \(dp[i]\) 表示抄写前 \(i\) 个字符的最小花费，显然， \(dp[i]\) 有两种被更新的方式。
\[dp[i]=min(dp[i-1]+cost[s[i]-'a'+1],dp[k]+c)
\]
很显然，这个 \(k\) 即我们的对称点，如果不加优化的话，我们只能通过枚举去找，且判断是否对称又是一维，这样我们的时间复杂度显然是不优秀的。
我们考虑在每个点的时候更新后面的点，就是以当前更新到的点作为题面中的 \(s_m\) ，左右两边同时向外判断，如果一直相同，就更新即可。
这样我们的时间复杂度能够达到 \(n^2\) 。
然后这题其实还有一点性质分，二分的做法很容易想到，这里就不赘述了。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10,INF=1e10;
inline int read()
{
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w*=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
int n,c;
int f[N],cost[N];
char s[N];
inline int find(int l,int r,char x)
{
int res=-1;
while(l<=r){
int mid=(l+r)/2;
if(s[mid]!=x) l=mid+1;
else res=mid,r=mid-1;
}
return res;
}
//目测60分
signed main()
{
// freopen("copy.in","r",stdin);
// freopen("copy.out","w",stdout);
n=read(),c=read();
for(register int i=1;i<=26;i++) cost[i]=read();
for(register int i=1;i<=n;i++) s[i]=getchar();
for(register int i=1;i<=n;i++) f[i]=INF;
f[0]=0;
if(n<=1000){ //40分
for(register int i=1;i<=n;i++){
//cout<<i<<"\n";
f[i]=min(f[i-1]+cost[s[i]-'a'+1],f[i]);
int l=i,r=i+1;
while(l>=1&&r<=n){ //操作1
if(s[l]==s[r]){ //能够关于其对称
f[r]=min(f[r],f[i]+c);
l--,r++;
}
else break;
}
l=i-1,r=i+1;
while(l>=1&&r<=n){ //操作2
if(s[l]==s[r]){ //能够关于其对称
f[r]=min(f[r],f[i]+c);
l--,r++;
}
else break;
}
}
printf("%lld\n",f[n]);
}
else{ //性质分20分
for(register int i=1;i<=n;i++){
//cout<<i<<"\n";
int k=find(1,i-1,s[i]);
if(k==-1) f[i]=f[i-1]+cost[s[i]-'a'+1];
else{
int mid=(i-k+1)/2;
if((i-k+1)&1) mid+=1;
f[i]=min(f[i-1]+cost[s[i]-'a'+1],f[k+mid-1]+c);
}
}
printf("%lld\n",f[n]);
}
return 0;
}
正解（hash+二分+线段树）
这是一种 \(nlogn\) 的解法，扩展 \(kmp\) 和 \(manacher\) 等算法也能做到。
想想怎么优化我们的过程，通过枚举去找到最大的边界然后一个一个更新，还是太暴力了。对于这种区间更新，线段树是比较显然的一种想法，但是我们如何在优秀的时间复杂度内找到回文半径。
我们可以把原来的字符串正着 \(hash\) 一遍，倒着 \(hash\) 一遍，在二分回文半径即可。
这样做的时间是 \(nlogn\) 。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10,INF=1e18;
inline int read()
{
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w*=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
int n,c;
int a[N],f[N],dp[N],tree[4*N]; //f[i]记录第i个点通过回文能够更新到的点的最远位置
char s[N];
unsigned long long p[N],hash1[N],hash2[N];
inline void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r) { tree[k]=INF; return; }
int mid=(l+r)/2;
build(k*2,l,mid),build(k*2+1,mid+1,r);
tree[k]=min(tree[k*2],tree[k*2+1]);
}
inline void change(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
if(l>y||r<x) return;
if(l>=x&&r<=y) { tree[k]=min(tree[k],v); return; }
int mid=(l+r)/2;
change(k*2,l,mid,x,y,v),change(k*2+1,mid+1,r,x,y,v);
}
inline int ask(int k,int l,int r,int x)
{
if(r<x||l>x) return INF;
if(l==r) return tree[k];
int mid=(l+r)/2;
return min(tree[k],min(ask(k*2,l,mid,x),ask(k*2+1,mid+1,r,x)));
}
signed main()
{
n=read(),c=read();
for(register int i=1;i<=26;i++) a[i]=read();
scanf("%s",s+1);
p[0]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
hash1[i]=hash1[i-1]*131+(s[i]-'a'+1);
hash2[n-i+1]=hash2[n-i+2]*131+(s[n-i+1]-'a'+1);
p[i]=p[i-1]*131;
}
// for(register int i=1;i<=n;i++) cout<<hash2[i]<<" ";
// puts("");
for(register int i=1;i<=n;i++){
int l=0,r=min(i-1,n-i),res=-1;
while(l<=r){ //奇数
int mid=(l+r)/2;
if(hash1[i]-hash1[i-mid-1]*p[mid+1]==hash2[i]-hash2[i+mid+1]*p[mid+1]) res=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
if(res!=-1) f[i]=max(f[i],i+res);
l=0,r=min(i-1,n-i-1),res=-1;
while(l<=r){ //偶数
int mid=(l+r)/2;
if(hash1[i]-hash1[i-mid-1]*p[mid+1]==hash2[i+1]-hash2[i+mid+2]*p[mid+1]) res=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
if(res!=-1) f[i]=max(f[i],i+res+1);
}
build(1,1,n);
for(register int i=1;i<=n;i++){
dp[i]=min(dp[i-1]+a[s[i]-'a'+1],ask(1,1,n,i));
if(i+1>f[i]) continue;
else change(1,1,n,i+1,f[i],dp[i]+c);
}
printf("%lld\n",dp[n]);
return 0;
}
