参天大树[题解]

参天大树

题目大意

给出一个 \(n\) 层的满二叉树，其根节点编号为 \(1\) ，对于每一个 \(x(x \ge 1)\) ，编号为 \(x\) 的节点有编号为 \(2x\) 与编号为 \(2x+1\) 的子节点。

需要从该二叉树的节点中选出一些节点(可以相同)，求出所有情况中他们 \(LCA\) 的和。

则我们需要求出下面这个式子的值：

\[\sum_{i=1}^{i<=n}\sum_{j=1}^{j<=n} LCA(i,j) \]

最终答案对 \(998244343\) 取模。

分析

拿到这个题，我们可以换一个角度来思考，不妨想一想如果我们想要选出节点的 \(LCA\) 为 \(i\) 节点，有多少种不同的情况。

其实我们可以分为以下三种情况：

• 这两个点就是 \(x\) 与 \(x\) ，这样就能保证有 \(x\) 的贡献，很显然该情况只会出现一次。

• 这两个点分别在 \(x\) 的左子树与右子树，如上图，这样也能保证他们的 \(LCA\) 恰为 \(x\) ，则这种情况的总数肯定就是左子树的大小乘右子树的大小还要乘 \(2\) ，注意这里的乘 \(2\) 是因为除了选择同一个点的情况其余情况都可以反转。

• 固定其中一个点为 \(x\) ，剩余的点在 \(x\) 的子树中选取，则很显然情况数位 \(2\) 乘 \(x\) 所有后代的数量。

那么，我们就能处理出 \(x\) 为 \(LCA\) 时的所有贡献了。

设 \(sum_{sun}\) 为 \(x\) 一个子树的大小，设根节点的层数为 \(1\) ， \(x\) 的层数为 \(i\) ，则易有 \(sum_{sun}=2^{n-i}-1\) 。

则当前的可知道 \(LCA\) 为 \(x\) 的贡献为:

\[sum_x=x\times [1+2\times (2^{n-1}-1) \times (2^{n-1}-1)+2\times2\times (2^{n-1}-1)] \]

进行化简即为

\[sum_x=x\times[1+2\times (2^{n-1}-1)\times (2^{n-1}+1)]=x\times [1+2\times(2^{2(n-i)}-1)] \]

接下来考虑如何将其转化到层上去，我们发现，其实每层的节点他们的子树都是一模一样的，所不同的只是系数，我们设 \(sum_i\) 表示第 \(i\) 层所有节点编号值的和，则有：

\[ans=\sum_{i=1}^{i<=n}sum_i\times [1+2\times(2^{2(n-i)}-1)] \]

设 \(numl_i\) 表示第 \(i\) 层最左边节点的编号， \(numr_i\) 表示第 \(i\) 层最右边节点的编号，则有：

\[numl_i=2^{i-1} , numr_i=numl_i+2^{i-1}-1 \]

\[sum_i=\frac {(numl_i+numr_i)\times 2^{i-1}}{2}=\frac{3\times 2^{2(i-1)}-2^{i-1}}{2} \]

则

\[ans=\sum_{i=1}^{i<=n} \frac{3\times 2^{2(i-1)}-2^{i-1}}{2}+(3\times 2^{2(i-1)}-2^{i-1})(2^{2(n-1)}-1)=\sum_{i=1}^{i<=n}(3\times 2^{2(i-1)}-2^{i-1})(2^{2(n-1)}-\frac{1}{2}) \]

展开即为

\[ans=\sum_{i=1}^{i<=n}3\times2^{2(n-1)}-2^{2n-i-1}+\frac{1}{2}\times 2^{i-1}-\frac{3}{2}\times 2^{2(i-1)} \]

然后再展开

\[ans=3n\times2^{2(n-1)}+\frac{1}{2}\times \sum_{i=1}^{i<=n}2^{i-1}-\frac{3}{2}\times \sum_{i=1}^{i<=n}2^{2(i-1)}-2^{2n}\sum_{i=1}^{i<=n}\frac{1}{2^{i+1}} \]

然后，又有

\[\sum_{i=1}^{i<=n}2^{i-1}=2^n-1 \]

后面的两个求和式用到等比数列求和的知识，即

\[\sum_{i=1}^{i<=n}2^{2(i-1)}=\frac{1-2^{2n}}{1-2^2}=\frac{2^{2n}-1}{3} \]

\[\sum_{i=1}^{i<=n}\frac{1}{2^{i+1}}=\frac{\frac{1}{4}\times(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} \]

最后得到的答案为：

\[ans=3n\times 2^{2n-2}+2^n-2^{2n} \]

然后就做完了。

更新：此题根本不用快速幂，可以通过直接 \(O(n)\) 的预处理避免超时，下面是最新代码。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10,MOD=998244353;
inline ll read()
{
    ll s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
ll dis[N];
int main()
{
	ll t=read();
	dis[0]=1;
	for(register int i=1;i<=1e6;i++) dis[i]=dis[i-1]*2%MOD;
	while(t--){
		ll n=read(),temp=dis[n-1];
		ll ans=((3*n%MOD-4+MOD)%MOD*temp%MOD*temp%MOD+temp*2%MOD+MOD)%MOD;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}