【斜率优化】JZOJ6282.【NOIP2019模拟10.31】向量】

Description

传送门

• n次操作。每次要么插入一个向量，要么查询对于按照插入顺序的区间的向量，求与向量(x,y)点积的最大值，即求最大的$x_1x_2+y_1y_2$
• 强制在线，n<=3e5，所有向量的x，y大于0

Solution

• 想了好久的几何做法，无果，直接无脑代数。然后就变成斜率优化了。区间询问就建一个线段树。每一个树上节点维护一个凸包。
• 刚开始我以为这个带加点的凸包要用平衡树维护。
• 实际上由于只有加点，所以只有当一个线段树节点满的时候才建凸包。
• 这样子就是$O(nlog^2n)$的了。
• 这题实际上是一道大模板套路题，但是我对于斜率优化的式子并不是十分理解，所以考场上我还手推了一波斜率优化：

斜率优化

• 最常见的斜率优化是对于每一个决策点的选择的贡献y，可以表示成一条直线，y=kx+b，根据x的变化，y就有一个最优的。根据这个求最小或最大维护一个上凸壳或下凸壳就好了。
• 但是这题的贡献与两个东西有关，就不好清晰地理解这个优化。
• 我们在学习斜率优化的时候经常会看到这样一个式子（或者稍微变一下符号）：
  $w>\frac{y1-y2}{x1-x2}>\frac{y2-y3}{x2-x3}>...>\frac{y_i-y_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}$
• 对于这个东西要维护一个单调队列。
• 对于上面所说到的直线的理解方法自然可以将它理解为凸壳。
• 同样对于这题来说，我们也假设每一个向量为(ai,bi)，考虑询问(x,y)对于两个向量i，j，如果ai<aj，并且i优于j，那么可以推出这个式子：
  $\frac{x}{y}<\frac{b_j-bi}{a_i-a_j}$
• 根据套路，就有：
  $\frac{x}{y}<\frac{b_j-b_i}{a_i-a_j}<\frac{b_k-b_j}{a_j-a_k}....$
• 其中i最优。
• 但是为什么有$\frac{b_j-b_i}{a_i-a_j}<\frac{b_k-b_j}{a_j-a_k}$呢？
• 假定有：
  $\frac{x}{y}<\frac{b_j-bi}{a_i-a_j},\frac{x}{y}<\frac{b_k-b_j}{a_j-a_k},\frac{b_j-bi}{a_i-a_j}>\frac{b_k-b_j}{a_j-a_k}$
• 那么当j优于k的时候，因为$\frac{b_j-bi}{a_i-a_j}>\frac{b_k-b_j}{a_j-a_k}>\frac{x}{y}$所以i也优于j，所以j就没有用了。
• 所以才需要维护上面的一段递增的斜率。
• 知道了这个之后以后就可以大力推式子，大胆用结论了，不用管是否能够表示在图像上了。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 300005
#define maxt 1000005
#define db double 
using namespace std;

int Q,m,cnt,que[maxn][5],i,j,k,ans,L,R;
struct node{
	int x,y;
	node(int _x=0,int _y=0){x=_x,y=_y;}
} P,p[maxn],a[maxn],dd[maxn],d[maxn*20];
int operator <(node a,node b){return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y>b.y;}
db K(node a,node b){return 1.0*(b.y-a.y)/(a.x-b.x);}

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}

int st[maxt],en[maxt],tot,n,w;
void Doit(int x,int l,int r){
	n=w=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) a[++n]=p[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++) if (i==1||a[i].x!=a[i-1].x){
		while (w>1&&K(dd[w],dd[w-1])>=K(a[i],dd[w])) w--;
		while (w&&a[i].y>=dd[w].y) w--;
		dd[++w]=a[i];
	}
	st[x]=tot+1,en[x]=tot+w;
	for(int i=1;i<=w;i++) d[tot+i]=dd[i];
	tot+=w;
}

void insert(int x,int l,int r,int y){
	if (y==r) Doit(x,l,r);
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if (y<=mid) insert(x<<1,l,mid,y);
	else insert((x<<1)^1,mid+1,r,y);
}

int Mul(node a,node b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}

void Get(int x){
	int l=st[x],r=en[x]-1;
	ans=max(ans,Mul(d[en[x]],P));
	while (l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		ans=max(ans,Mul(d[mid],P));
		if (K(d[mid],d[mid+1])<=1.0*P.x/P.y) l=mid+1;
		else r=mid-1; 
	}
}

void find(int x,int l,int r){
	if (l>R||r<L) return;
	if (L<=l&&r<=R) {Get(x);return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	find(x<<1,l,mid),find((x<<1)^1,mid+1,r);
}

int main(){
	read(Q);
	for(i=1;i<=Q;i++){
		read(que[i][0]);
		if (que[i][0]==1) read(que[i][1]),read(que[i][2]),m++;
		else read(que[i][1]),read(que[i][2]),read(que[i][3]),read(que[i][4]);
	}
	for(int q=1;q<=Q;q++){
		int opt=que[q][0];
		if (opt==1){
			p[++cnt]=node(que[q][1]^ans,que[q][2]^ans);
			insert(1,1,m,cnt);
		} else {
			L=que[q][3]^ans,R=que[q][4]^ans;
			P=node(que[q][1]^ans,que[q][2]^ans);
			ans=0,find(1,1,m);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
}