【历史版本线段树】【2019杭州集训12.08】漏网之鱼（escape）

Description

$n,Q<=1e6$

Solution

• 基础线段树？
• 首先考虑固定一个端点，维护所有另一个端点的mex。
• 根据固定的端点的不同是两种截然不同的做法。

历史版本查询线段树

• 简单来说就是记录一个time，将贡献表示成$k*time+b$的一个一次函数。
• 对于修改的tag也是类似的一个一次函数。

固定右端点

• 每一个mex的影响区间是单调的。
• 可以动态维护一个单调栈。
• 单调栈的修改次数是有限的。修改的时候可以用线段树二分。
• 同样维护历史查询的线段树

固定左端点

• 用一个线段树维护右端点对应的mex。
• 考虑左端点$l$往右移的时候，$a_l$的下一个出现的位置之前的所有位置mex都会与$a_l$取min。
• 然后我们可以发现由于整个序列的mex是单调的，会分成很多个块，我们暴力对每一个整块取min实际上是可以的，也就是每一次修改mex相同的区间。
• 记录一个区间的最大值，以及区间的mex是否相同即可。
• 对于每一个位置r我们要求所有的l对于它的mex，并且有一些连续的l对于这个r的mex都是一样的，这实际上是一个查询历史版本的线段树。
• 对于一个mex，在r上，它的贡献可以被表示成$k*time+b$，即一个关于当前的时间（左端点的位置）的一次函数。
• 对于修改（区间赋值）的时候，可以记一个tag表示修改成什么，tagk为对于k的贡献，tagb为对于b的贡献，即贡献为$(newsum-sum)*(time-nowtime)$。注意到由于整个区间在这之前已经完全一样了，所以我们tagk和tagb实际可以表示成增量$newsum-sum$，修改的时候再乘上区间的长度，这样就可以直接把tagk和tagb下传了。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 1000005
#define maxt 5000005
#define LL long long 
using namespace std;

int type,n,m,Q,i,j,k,now,tot,a[maxn],nex[maxn],L[maxn],R[maxn];
struct query{int x,i,t;} q[maxn*2];
int cmp(query a,query b){return a.x<b.x;}
int mex[maxn],bz[maxn];
LL ans[maxn];

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}

LL tk[maxt],tb[maxt],tagk[maxt],tagb[maxt]; int mx[maxt],tag[maxt],sm[maxt];
void upd(int x){
	tk[x]=tk[x<<1]+tk[x<<1^1];
	tb[x]=tb[x<<1]+tb[x<<1^1];
	mx[x]=max(mx[x<<1],mx[x<<1^1]);
	if (sm[x<<1]&&sm[x<<1^1]) sm[x]=mx[x<<1]==mx[x<<1^1];
	else sm[x]=0;
}

void maketree(int x,int l,int r){
	tag[x]=-1;
	if (l==r) {
		tk[x]=mx[x]=mex[l],sm[x]=1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	maketree(x<<1,l,mid),maketree(x<<1^1,mid+1,r);
	upd(x);
}

void downtag(int x,int l,int r){
	tk[x]+=tagk[x]*(r-l+1),tb[x]+=tagb[x]*(r-l+1),mx[x]=tag[x];
	if (l<r){
		tagk[x<<1]+=tagk[x],tagb[x<<1]+=tagb[x];
		tagk[x<<1^1]+=tagk[x],tagb[x<<1^1]+=tagb[x];
		tag[x<<1]=tag[x<<1^1]=tag[x];
	}
	tag[x]=-1,tagk[x]=tagb[x]=0;
}

void change(int x,int l,int r,int ll,int rr,int d){
	if (tag[x]!=-1) downtag(x,l,r);
	if (l>rr||r<ll||mx[x]<=d) return;
	if (ll<=l&&r<=rr&&sm[x]){
		tagk[x]=d-mx[x],tagb[x]=-1ll*now*(d-mx[x]),tag[x]=d;
		downtag(x,l,r);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	change(x<<1,l,mid,ll,rr,d),change(x<<1^1,mid+1,r,ll,rr,d);
	upd(x);
}

LL find(int x,int l,int r,int ll,int rr){
	if (tag[x]!=-1) downtag(x,l,r);
	if (l>rr||r<ll) return 0;
	if (ll<=l&&r<=rr) return tk[x]*now+tb[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	return find(x<<1,l,mid,ll,rr)+find(x<<1^1,mid+1,r,ll,rr);
}

int main(){
	read(type),read(n);
	for(i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
		if (a[i]>n) a[i]=n+1;
	}
	for(i=n;i>=1;i--) {
		if (bz[a[i]]) nex[i]=bz[a[i]]; else nex[i]=n+1;
		bz[a[i]]=i;
	}
	read(Q);
	for(i=1;i<=Q;i++) {
		read(k),L[i]=k; if (k-1) tot++,q[tot].x=k-1,q[tot].t=-1,q[tot].i=i;
		read(k),R[i]=k; tot++,q[tot].x=k,q[tot].t=1,q[tot].i=i;
	}
	sort(q+1,q+1+tot,cmp);
	memset(bz,0,sizeof(bz));
	for(k=0,i=1;i<=n;i++) {
		for(bz[a[i]]=1;bz[k];k++);
		mex[i]=k;
	}
	maketree(1,1,n),k=1;
	for(now=1;now<=n;now++) {
		for(;k<=tot&&q[k].x==now;k++) ans[q[k].i]+=find(1,1,n,L[q[k].i],R[q[k].i])*q[k].t;
		if (now+1<nex[now]) change(1,1,n,now+1,nex[now]-1,a[now]);
		change(1,1,n,now,now,0);
	}
	for(i=1;i<=Q;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
}