【2019杭州集训】12.12~14训练总结

我菜爆了，这几天题目都改不完还来写总结？

12.12

简要题解

• T1（环），比较妙的构造题，转化为相邻的1的距离同构，然后发现这里的同构实际上是一个子问题，递归下去解决。
  
• T2（DNA序列）：只会暴力
  给n个序列，每个序列要选择一个前缀，以任意顺序排列n个前缀，问字典序最小的前缀是什么、
  贪心。
  首先对于每一个字符串S，找出一个最短前缀x使得x^inf<=S+‘Z’，然后按照x排序分类，x相同按照除去S的最大重复x的前缀后的Res+'Z’大到小排序。
  因为我们要让尽量小的x重复很多次，最后的Res只有一个，并且要让它尽量小。
  这样我们就确定了顺序，后往前枚举并暴力即可。
• T3（探寻）：没时间打了。
  给一个有根树，第i条边经过第一次的时候要花ci的钱，每一个点有di的钱可以获得，问从根最终结束于end（给出）最少要带多少初始的钱出门。
  类似的题目我们之前做过。
  在能到的点里面我们肯定是要先选花费少的，所以按照每一个点到它的父亲的花费小到大加入，但是我们当前点可能并不能到这个点，所以需要将这个待加入的点与它的父亲合并，然后就不难解决了。

12.13

简要题解

• T1（gcd和lcm）：简单莫比乌斯反演。把a离线之后一边插入一边询问，用一个树状数组。$T<=1e4;n,m,a<=1e5$
  
• T2（平面图）：首先转对偶图，删边变成了加边，然后发现一个连通块对应了对偶图中的一个环。并查集维护即可完成询问1.
  然后在成环的时候染色即可，用启发式分裂，即两边每一次遍历一条边，这样就是$O(n logn)$的了。
  
• T3（路径）：DP后找规律可以发现，答案为$\frac{F(n+m)}{F(n)F(m)},F(n)=\prod(q^i-1)$
• 可以通过DP的式子归纳证明。然后注意到有0的情况，可以分类出来处理。
  

12.14

• pty出（组）了一套毒瘤题 高质量难题。口胡and啥也不会

• T1：可以类似差分约束地去建网络流，将限制写成方程后变成线性规划，然后可以转化为神奇的网络流做？$1<=k<=n<=1000$

• T2：求一个带标号n个点的联通图，使得其中的点双的大小只在一个给定的集合S里面。
  考虑如果知道了点双大小为n的方案数，那么贡献组合成一颗树的贡献不难推出来？？？
  点双的贡献可以多项式exp？？？
  $n<=1e5,\sum_{w_i属于S} w_i<=1e5$

• T3：唯一改起来比较清真的题目，因为这题最关键的是一个结论——最终围成的路径一定在两两的最短路上，否则就可以缩紧到最短路上。那么把所有的最短路图建出来，从左上角到左上角跑一个最短路的环即可。但是注意到可能经过最短路的时候没有包括关键的点，有一种神奇的拆点方法，将每一个格点分成四个点，最短路的两边不能跨过，关键点内部的点全部删掉，以及一些操作（雾），因为（1，1）一定有，所以直接跑（1，1）的右下到左下的一个最短路即可跑成一个环了。
  

$1<=n,m<=400,1<=w_i<=1e9$