【Codeforces】GoodBye 2019简要题解

传送门
七道构造题，外加一道暴力，妙啊！ 话说构造题太考验思维了，想不到就没了。

A.Card Game

• 直接贪心即可

B.Interesting Subarray

• 可以发现当且仅当存在相邻的两个不满足条件时才存在，也就是说任意一个不合法的子段一定有这么一个相邻的位置不合法。

C.Make Good

• 因为要求$\sum a_i=2*(a_1 \:xor\:a_2\:xor...a_k)$，注意到有一个乘二，所以说最后一个位置相当于是已经确定了，然后倒着推过去就可以O(log)的时间用一个数完成要求的构造。
• 或者还有一种构造方法。设刚开始的和为s1,异或和为s2。
• 第一个数是s2，第二个为(s1+s2)。然后发现这样就可以了？？？神奇。

D. Strange Device

• 简单交互题 构造题。
• 只需要将前k+1个选择k次，那么返回的只会有第m大的出现k+1-m次，第m+1大的出现k次，然后找到返回值中小的那个的个数就好了。

E. Divide Points

• 刚开始一本正经地以为是神仙的二分图匹配的问题，结果还是构造？？？
• 奇偶讨论。因为要讨论$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$的关系，所以直接按照x,y分别的奇偶性讨论即可，一共有四种可能。
• 注意到如果有不止一种可能，那么就一定能分成两组（如果x-y都同奇偶，有两组，那么它们最后的距离mod4是不一样的）。
• 否则全部坐标除以二继续做。可以预先全部变成正数。

F. Awesome Substrings

• 首先计算一个前缀和记录为s[i]，那么相当于是求
  $\sum_{k>0}\sum_{0<=l<r<=n} [\:k(s[r]-s[l])=(r-l)\:]$
• 注意到k如果很大的话那么$k*s[m]<=n$，那么有效的$s[m]$满足$s[m]<=\frac{n}{k}$
• 那么我们就可以平衡规划了。
• $k<=T$时暴力$O(Tn)$，$k>=T$的部分枚举左端点$l$以及1的个数，计算右端点在这个区间内满足$k>=T$的个数，时间$O(n^2/T)$。
• 可以用map完成暴力（虽然超级慢），然后要求上面两个时间相等即可。

G. Subset with Zero Sum

• 真·构造。首先化一下很丑的约束式子变成$1<=i-a[i]<=n$。
• 超级优美——直接i向a[i]连边，然后找环即可。

H. Number of Components

• 基础线段树
• 刚开始想建一个树出来LCT，然后似乎有单调队列？？？难搞
• 然后发现一个性质，联通快一定是连续的一段区间。否则左边一块隔着几个和右边一块相连，你会发现中间的几个一定会和左边的或右边的相连。
• 既然如此，那么问题就转化为了找分界点了。
• 分界点$x$一定满足$Min_{i<x}(a_i)>Max_{i>=x}(a_i)$。
• 现在我们想要维护分界点的个数。直接做并不好做。考虑转换一下模型。
• 对于上面的式子我们不妨找到$Min_{i<x}(a_i)$的$i$,将$a_j>=a_i$的$j$的位置赋为1，$a_j<a_i$赋为0.那么最后对于这个$i$，我们得到的序列是类似11…110…00这样的。如果我们在这个序列前面加一个1，后面加一个0，那么这个序列$h$是这个形态当且仅当相邻位置不同的个数为1.
• 我们对于每一个$i$都维护一个$h$的相邻位置不同的个数$f$，以$a[i]$为关键字开一个权值线段树，维护$f$。
• 可以注意到修改一个位置pos只会跟pos-1或pos+1在h中与pos的0/1状态有关，影响到的刚好是一个区间。分类讨论即可。
• 线段树上只需要记录最小的是什么和最小的数的个数。
• 由于修改自己不好改，所以不妨离线下来，全部一起操作。预处理也可以变成类似的操作。