JZOJ6693. 【2020.06.05省选模拟】紫色彼岸樱推迟绽放

Description

幽幽子饿了，妖梦需要给幽幽子准备食物。
有 T 天，每天幽幽子划分成了 k 个时段，妖梦需要安排每一天的日程。
第 i 天妖梦准备了 D+i-1 道菜，每道菜有无数个。第 1 个时段是早餐，幽幽子会选择 L 道不同的菜吃。
接下来 k-1 个时段，每个时段可以选择 D+i-1 道菜中的一道吃或者选择 A 个活动中的一个参加，但是出于健康考虑，幽幽子不能连续两个时段同时吃菜。
k 和 A 是幽幽子事先决定好的，她给出了 Q 个询问，每次询问给出 L,D,T，问这 T 天每一天的安排的方案数之和。
由于答案可能很大，输出答案对 998244353 取模之后的结果。

Solution

• 因为太菜了以及懒得打公式就直接从题解上搬了，这种神奇的推式子姿势和套路我是第一次见，生成函数以及奇怪的式子我还是做的少了。
  
• 然后就有很骚的一步，用上升幂尝试去把阶乘消掉
• 原式的阶乘拆开，将它代回去就可以消.
  
• 然后“套路”地化简，将后面配一个阶乘$(j+L)!$
  
• 后面是一列组合数的和。
• 现在考虑求$a_j$，$a$与读入的东西无关，只要能求出来就能$O(k)$完成一次询问。
• 然后又是一个很骚的套路，将$x$的点值代进去，解出$a$
• 把$\frac{(x+i)!}{x!}$写成组合数，然后再配一个负数组合数上去：
  
• 二项式反演就可以得到$a$了，直接卷积
• 最后再用组合意义矩阵乘法DP求出$F(x)$的-1…-k点值就好了。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 10100005
#define maxn 500005
#define ll long long 
#define mo 998244353
using namespace std;

int n,A,Q,i,j,k,bt[maxn],lim;
ll fct[maxm],invf[maxm],a[maxn],b[maxn],c[maxn];

ll C(int n,int m){
	if (n<m) return 0;
	return fct[n]*invf[m]%mo*invf[n-m]%mo;
}

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll G[2],H[2][2],g[2],h[2][2];
ll F(ll x){
	G[0]=1,G[1]=A;
	H[0][0]=0,H[0][1]=x*A%mo;
	H[1][0]=1,H[1][1]=A;
	for(int t=n-2;t;t/=2){
		if (t&1){
			memset(g,0,sizeof(g));
			for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++)
				(g[j]+=G[i]*H[i][j])%=mo;
			memcpy(G,g,sizeof(G));
		}
		memset(h,0,sizeof(h));
		for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++)
			(h[i][k]+=H[i][j]*H[j][k])%=mo;
		memcpy(H,h,sizeof(H));
	}
	return G[1];
}

void dft(ll *a,int sig){
	for(int i=0;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		ll gn=ksm(3,(mo-1)/(mid<<1));
		if (sig<0) gn=ksm(gn,mo-2);
		for(int j=0;j<lim;j+=(mid<<1)%mo){
			ll g=1; 
			for(int k=0;k<mid;k++,g=g*gn%mo){
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*g;
				a[j+k]=(x+y)%mo,a[j+k+mid]=(x-y)%mo;
			}
		}
	}
}


int main(){
//	freopen("bloom.in","r",stdin);
//	freopen("bloom.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&A,&Q);
	fct[0]=1;for(i=1;i<maxm;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	invf[maxm-1]=ksm(fct[maxm-1],mo-2);
	for(i=maxm-2;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mo;
	for(i=0;i<n;i++) a[i]=F(-i-1)*invf[i]%mo*((i&1)?-1:1);
	for(i=0;i<n;i++) b[i]=invf[i];
	for(lim=1;lim<=2*n;lim<<=1);
	for(i=1;i<lim;i++) bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)?lim>>1:0);
	dft(a,1),dft(b,1);
	for(i=0;i<lim;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mo;
	dft(c,-1);
	ll inv=ksm(lim,mo-2);
	for(i=0;i<lim;i++) c[i]=c[i]*inv%mo;
	
	while (Q--){
		ll L,D,T,ans=0;
		scanf("%lld%lld%lld",&L,&D,&T),D--;
		for(i=0;i<n;i++) 
			ans+=fct[i+L]*c[i]%mo*(C(i+D+T+1,i+L+1)-C(i+D+1,i+L+1))%mo;
		ans=(ans%mo*invf[L]%mo+mo)%mo;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}