JZOJ5787 轨道

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题目大意

给出 $n$，$m$。

需要构造一个长度为 $n$ 的正整数序列 $A$，其中 $A_i \in [1,m]$。

给出一个正整数 $K$。你的序列需要使的存在一个正整数 $V$，使得 $V \cdot K = \prod A_i$ 且 $V$ 与 $K$ 互质。

求出构造方案数。

其中 $n \leq 30001, m \leq 10^9, K \leq 10^7$。

解题思路

考虑 DP 设 $dp(i,j)$ 表示构造到 $i$ 位，使得 $\prod A_i = j$ 的方案数。

这样显然开不下，但是发现其实我们只关心 $\gcd(j,K)$。

显然 $\gcd(j,K)$ 是 $K$ 的因数，我们将因数全部预处理出来，从小到大排列，记为数列 $a$，这不会太多，数量 $at \leq 1000$。

同时记 $mp(i)$ 表示 $i$ 在 $K$ 的因数中的排名。

所以我们将 $dp(i,j)$ 含义改成：构造到 $i$ 位，使得 $\gcd(\prod A_i,K) = a[j]$ 的方案数。

那么我们可以推出状态转移方程：

$$dp(i,j) = \sum_{a(k)|a(j)} dp(i-1,k) \cdot dp(1,mp(\tfrac{a(j)}{a(k)}))$$

考虑如何实现转移，我们可以预处理出 $a(j)$ 的所有因数，这将耗费 $O(at^2) \leq 10^6$ 的时间。

经过预处理，转移的总时间消耗为 $O(n\sum \sigma_0(a(i))) \leq 2*10^4 n \leq 6*10^8$，实际上这个数字会更加的小，其中 $\sigma_0$ 表示因数个数。

我们解决了转移问题，接下来考虑如何求出 $dp(1,j)$。

考虑其含义，即数 $x \in [1,m]$ 使得 $\gcd(x,K) = a(j)$ 并且 $\gcd(\frac{x}{a(j)},K) = 1$ 的个数。

直接枚举不可行，考虑进行一步转化，第二个条件等价于：

$$\gcd(\frac{x}{a(j)},\frac{K}{a(j)}) = 1$$

第三个条件可以推出条件二，故关键在于条件三。

$$\gcd(\frac{x}{a(j)},K) = 1$$

令 $y \in [1,\dfrac{m}{a(j)}]$。

即求 $y$ 与 $K$ 互质的个数，使用容斥原理。

即$1$ 的倍数，减去 $2$ 的倍数，减去 $3$ 的倍数，加上 $6$ 的倍数等等，的小学问题。

更具体的其容斥系数即为莫比乌斯函数 $\mu$，不难理解。

更严谨的，使用莫比乌斯反演：

$$f(i) = \sum_{j}^{N} [\gcd(j,K)=i] \\ F(i) = \sum_{i|j} f(j) = \sum_{j}^{N} [i|\gcd(j,K)] = \lfloor \frac{N}{i} \rfloor$$

其中要求 $i|K$。

根据莫比乌斯反演，所求 $f(1)$ 即为：

$$f(1) = \sum_{i|K} \mu(i) F(i)$$

线性筛出莫比乌斯函数 $O(K) \leq 10^7$，预处理 $O(at^2) \leq 10^6$。

至此，我们解决了这个问题。

参考代码