CF1919E Counting Prefixes

CF1919E Counting Prefixes

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题目大意

有一个由 -1 与 1 构成的数列 $A$。告诉你它的前缀和升序排序的数列 $P$。求有多少个满足方案的数列 $A$。

多组数据，其中 $A$ 的长度 $n$ 有。

$\sum n \leq 5000$。

解题思路

首先我们考虑枚举 $s = \sum A$。

我们考虑先往右边“走”。构建一个序列 $\{1,1,\cdots,1,-1,-1,\cdots,-1\}$。

接着我们往里面插入一些 $\{-1,1\}$ 这样会使得当前位置 $P$ 以及 $P-1$ 多出现一次。

这样我们可以考虑从最高点 $P_n$ 开始往下补全它们的出现次数。

若一个位置 $P_i$ 需要出现 $C_i$ 次，已经出现过 $B_i$ 次，我们将一些 $\{-1,1\}$ 插入到 $B_i$ 个位置中。根据排列组合知识可以得到其对答案的贡献为。

$$\binom{C_i-1}{B_i-1}$$

我们在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内解决了这个问题。

代码实现

代码实现中有非常多需要注意的细节。

• 对于起点情况的处理
• 对于不合法情况的判断
• 初始序列的构建

建议先参考代码，仔细思考。

参考代码