P3327 [SDOI2015] 约数个数和

P3327 [SDOI2015] 约数个数和

题目描述

给定 $n$，$m$。求：

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sigma_0(ij)$$

$\sigma_0$ 表示因数个数。

解题思路

首先一个很重要的性质

$$\sigma_0(xy) = \sum_{i|x} \sum{j|y} [\gcd(i,j)=1]$$

证明比较复杂，可以感性理解。

得到这个性质之后：

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sigma_0(ij)$$

变成：

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{x|i} \sum_{y|j} [\gcd(x,y)=1]$$

改变枚举顺序：

$$\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \lfloor \frac{m}{y} \rfloor [\gcd(x,y)=1]$$

定义函数：

$$f(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{j} \rfloor [\gcd(i,j)=x]$$

$$g(x) = \sum_{x|d} f(d)$$

有：

$$g(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{j} \rfloor [x|\gcd(i,j)]$$

提出 $x$：

$$g(x) = \sum_{i=1}^{\frac{n}{x}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{x}} \lfloor \frac{n}{xi} \rfloor \lfloor \frac{m}{xj} \rfloor$$

根据上文定义，所求答案为 $f(1)$。

莫比乌斯反演：

$$f(x) = \sum_{x|d} \mu(\frac{d}{x}) g(d)$$

所以所求 $f(1)$ 即为：

$$f(1) = \sum_{d} \mu(d) g(d)$$

如何快速求出 $g(x)$：

$$g(x) = \sum_{i=1}^{\frac{n}{x}} \lfloor \frac{n}{xi} \rfloor \cdot \sum_{j=1}^{\frac{m}{x}} \lfloor \frac{m}{xj} \rfloor$$

应用分配律不难理解。

定义：

$$s(x) = \sum_{i}^{x} \lfloor \frac{x}{i} \rfloor$$

可以 $O(n\sqrt{n})$ 预处理。

则：

$$g(x) = s(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor) \cdot s(\lfloor \frac{m}{x} \rfloor)$$

带回 $f(1)$ 表达式：

$$f(1) = \sum_{d}^{min(n,m)} \mu(d) \cdot s(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor) \cdot s(\lfloor \frac{m}{x} \rfloor)$$

整除分块即可。

总时间复杂度 $O(n\sqrt n+T\sqrt n)$。

参考代码