P3327 [SDOI2015] 约数个数和
题目描述
给定 n,m。求:
n∑i=1m∑j=1σ0(ij)
σ0 表示因数个数。
解题思路
首先一个很重要的性质
σ0(xy)=∑i|x∑j|y[gcd(i,j)=1]
证明比较复杂,可以感性理解。
得到这个性质之后:
n∑i=1m∑j=1σ0(ij)
变成:
n∑i=1m∑j=1∑x|i∑y|j[gcd(x,y)=1]
改变枚举顺序:
n∑x=1m∑y=1⌊nx⌋⌊my⌋[gcd(x,y)=1]
定义函数:
f(x)=n∑i=1m∑j=1⌊ni⌋⌊mj⌋[gcd(i,j)=x]
g(x)=∑x|df(d)
有:
g(x)=n∑i=1m∑j=1⌊ni⌋⌊mj⌋[x|gcd(i,j)]
提出 x:
g(x)=nx∑i=1mx∑j=1⌊nxi⌋⌊mxj⌋
根据上文定义,所求答案为 f(1)。
莫比乌斯反演:
f(x)=∑x|dμ(dx)g(d)
所以所求 f(1) 即为:
f(1)=∑dμ(d)g(d)
如何快速求出 g(x):
g(x)=nx∑i=1⌊nxi⌋⋅mx∑j=1⌊mxj⌋
应用分配律不难理解。
定义:
s(x)=x∑i⌊xi⌋
可以 O(n√n) 预处理。
则:
g(x)=s(⌊nx⌋)⋅s(⌊mx⌋)
带回 f(1) 表达式:
f(1)=min(n,m)∑dμ(d)⋅s(⌊nx⌋)⋅s(⌊mx⌋)
整除分块即可。
总时间复杂度 O(n√n+T√n)。
参考代码
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