树套树
树套树
简介
简单来说就是两个树形数据结构的嵌套，一般是值域套区间，或者区间套区间（二维区间）。
P3380 【模板】树套树
看到查询排名与第 \(k\) 大会想到主席树，但其无法支持修改。
所以考虑树套树，外层用棵线段树表示区间，内层用一棵权值线段树表示值域。
考虑如何实现操作二，尝试二分，时间复杂度来到 \(O(log_n^3)\)。不太可取。
经典技巧一
考虑如果只涉及一棵权值线段树，可以直接在线段树上二分。可以类比主席树，其是两棵树一起走。
看目前的做法，其会涉及 \(log_n\) 棵树，只需要让这 \(log_n\) 棵树一起走就好了，时间复杂度优化到 \(O(log_n^2)\)。
然而这是假的
因为我们还要求前驱和后继，所以需要使用平衡树而不能用权值线段树。
如果继续以平衡树作为内层树，那么时间复杂度仍然为 \(O(n log_n^3)\)。不可取。
经典技巧二
我们尝试以权值线段树表示值域作为外层树，以平衡树表示位置作为内层树。
对于操作一，直接统计 \([0,k)\) 中位置在 \([l,r]\) 中的个数即可。
对于操作二，在权值线段树上二分。
对于操作三，先删点，再加点。
对于操作四，询问排名，再询问排名为其排名减一的元素。
对于操作五，类似于操作四。
做到这里，发现其实不一定要以平衡树作为内层树，但是因为它的常数和空间相比于权值线段树都更加优秀，所以仍然选择平衡树。
到这里就讲完了，总的时间复杂度为 \(O(n \log_n^2)\)。
对于此题而言，需要注意的是，一个元素可能重复，所以其排名等于小于它的数的个数加一。
实现技巧一
对于树套树，由于空间的限制，内层树一般需要动态开点。对于外层树为了实现方便与不引起混乱最好选择建出完整的树。
可以选择 namespace 进行命名空间的分隔以防变量名冲突，并使代码更加模块化，简洁化。
实现技巧二
由于内层树是动态开点，所以外层树实际上记录了内层树的树根。
并且在大多数问题中，合并内层树的代价非常大，所以需要使用标记永久化的技巧。
对于标记永久化，由于其不会合并两个儿子，所以在修改时需要将访问到的所有区间都做上修改。
在查询时也要将查询路径上的所有节点的答案贡献进去。
最后附上代码，略微压行，部分代码可读性不高。
