cf 1337E - Kaavi and Magic Spell （区间DP）

题目：传送门

题意：给出两个字符串S和T， 和一个空字符串A， 每次将s的第一个字符放在A的前面或后面 ；求 A串 在这样的过程中 ，其前缀等于T的方法数 （若S=T=“a” ， 字符‘a’可以往空串前插也可以后插，故是两种方法）

　　设 dp(i,l,r) 表示 S串中的前i个字符 形成的字符串与 T串中的 [ l , r ] 完全匹配的方法数 ，由于 i 个字符形成的字符串长度为 i ，所以一定有 r-l+1 == i 。因此，dp(i,l,r) 可以简化为 dp(l,r) ；

　　前缀等于T的A串 ， 可以表示为 A = T + "??...?"（'?'可以与任意字母匹配）  ，A串长度为n  、 T串长度为m； 上述的与T串匹配 可以看做： 前i个字符形成的字符串  与  满足题意的A串匹配

　　1. 若　s[i] == t[l] , 则有 dp(l,r) = dp(l,r) + dp(l+1,r)  , 前插 s[i]   【 s[i] 与 t[l] 匹配 ；状态转移：前 i-1 个字符形成的字符串  (  i-1 == r-(l+1)+1  ) 与 t[ l+1 , r ] 的完全匹配  + 前插 s[i]  ==》 前 i=r-l+1 个字符形成的字符串与t[ l , r ] 的完全匹配   】

　　2. 若   s[i] == t[r] , 则有 dp(l,r) = dp(l,r) + dp(l,r-1)   , 后插 s[i]   

　　3. 若   l > m  ||  r > m  ， 则有 dp(l,r) = dp(l,r) + dp(l,r-1) + dp(l+1,r)  【这里的 > m 指的是 与在A串中的“任意串”进行匹配, 既然是 “任意串” 那么前插后插都满足】

 

AC代码：（dp的预处理见代码注释）

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const int N=3e3+5;
const LL inf=(1uLL<<63)-1;
const LL mod=998244353;
const double eps=1e-9;
const long double pi=acos(-1.0L);
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
LL read()
{
    LL x=0,t=1;
    char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar())) if(ch=='-') t=-1;
    while(isdigit(ch)){ x=10*x+ch-'0'; ch=getchar(); }
    return x*t;
}
char s[N],t[N];
LL dp[N][N];
int main()
{
    scanf("%s%s",s+1,t+1);
    int n=strlen(s+1),m=strlen(t+1);
    for(int i=1;i<=n+1;i++) dp[i][i-1]=1;//dp[i][i]=dp[i][i-1]+dp[i+1][i]=2  (i,i-1)可以视为空串
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int l=1,r=i;r<=n;l++,r++)
        {
            if(l>m||s[i]==t[l]) dp[l][r]+=dp[l+1][r],dp[l][r]%=mod;
            if(r>m||s[i]==t[r]) dp[l][r]+=dp[l][r-1],dp[l][r]%=mod;
        }
    }
    LL ans=0;
    for(int i=m;i<=n;i++) ans+=dp[1][i],ans%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}