好玩的数学--程序员篇

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第1章 0的故事--无即是有

需求--问题：为什么我们需要发明计数法呢？

数越大就越难处理，将大问题分解成小“单元”；

方法论之一：“问题分解法”；

数字本身即是容器，并无实际意义；真正有意义的在于使用者；

 

进制

2进制：机器数字；逢二进位；两种数字；

10进制：阿拉伯数字；常用进制，适用我们使用手指个数；

--60进制：罗马数字；逢60进位；实例：时间应用60进制；

应用：进制数转换；

 

0

大多数机器对于0的处理都有自己的一套方法论，会进行特殊处理；

指数--10的0次方是多少？0次方的意义，基数的几分之一；

作用：占位--统一标准，简化规则；实例：吃药问题；

 

第2章 逻辑--真与假的二元世界

机器逻辑--布尔逻辑；

AI逻辑--模糊逻辑；实例：偶尔；经常；非常频繁； 设计对应数值：0.1；0.5；0.9；

需求--问题：为何逻辑如此重要？

逻辑是消除歧义的工具；

我们平时使用的语言--自然语言，是极易产生歧义的；

规格说明书（记述如何编写程序的文件）一般都是用自然语言描述的；因此，程序员必须走出自然语言的歧义的迷宫，谨慎解读规格说明书，确定其正确的意义；

“逻辑”是消除自然语言的歧义、严密准确的记述着事物的工具；假如尝试使用逻辑语言（逻辑表达式）来重新解释规格说明书，有时就会发现其中存在歧义或矛盾的地方；另外，借助逻辑还能够将复杂的规格说明书转换成简单易懂的形式；

程序员处于人类和计算机的分界线上；只要做到逻辑性的思考和表达，就不会为常识和感情所困，从而写出符合要求的规格说明和程序；程序员应该努力将问题转化为程序，让计算机有活可干；

乘车费用问题--兼顾完整性和排他性；
学习逻辑的基本思路：兼顾完整性和排他性；

命题及其真假--能够判断对错的陈述句叫做命题；

 

命题正确时，该命题为“真”；反之，命题不正确时，称该命题为“假”；也将“真”称作 true ，“假”成为 false；

有没有“遗漏”；
有没有“重复”；
画一根数轴辅助思考；
确认没有“遗漏”和“重复”是相当重要的。在查看乘车费用规则这类说明时，在阅读文字的同时，最好像下面那样 画一根数轴；

注意边界值
通过数轴，我们可以看到边界值是需要注意的；

兼顾完整性和排他性
没有“遗漏”，即具备完整性；
没有“重复”，即具备排他性；

使用if语句分解问题
逻辑的基本是两个分支；If-else;true or false

真值表
真值表没有遗漏和重复，兼顾了完整性和排他性；

文氏图

与 或 非 异或 蕴含 相等；

德.摩根定律
“非A”或者“非B”，和非“A与B” 是等价的；
“非A”并且“非B”，和非“A或B” 是等价的；

对偶性
分别将true和false、A和非A、且和或进行互换，就能够得到该逻辑表达式的否定式；

卡诺图

包含未定义的逻辑
true 真
false 假
undefined 未定义
三值逻辑

方法论之二：布尔逻辑；与或非；

 

第3章 余数--周期性和分组

运用余数，大数字的问题就能简化成小数字问题；

 

第4章 数学归纳法--如何征服无穷数列

1.基底的证明；

2.归纳的证明；

 

第5章 排列组合 --解决计数问题的方法
加法法则
乘法法则
置换
阶乘
排列
树形图
组合
置换和排列都要考虑顺序，不考虑顺序的方法--组合；

第6章 递归 --自己定义自己
递归和归纳的本质是相同的，都是“将复杂问题简化”；

斐波那契数列
F(0)=0 
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=2,n属于实数

第7章 指数爆炸 --如何解决复杂问题
指数爆炸是指数字呈爆炸式增长；

二分法查找--利用指数爆炸进行查找；

密码 --利用指数爆炸加密；
现在使用的密码，是俗称“秘钥”的随机字节流来加密的；

 

总结：

If判断的语句块，用于形成的逻辑分支；

for进行的语句块，用于解决重复性问题；

方法论之一：“问题分解法”--数越大就越难处理，将大问题分解成小“单元”；

方法论之二：逻辑--布尔逻辑；与或非；等等；模糊逻辑；

 

参考文献

--《程序员的数学》.（日）结城浩